[论文解读] Frobenius splitting and ordinarity

Kirti Joshi, C. S. Rajan|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文研究了代数几何中弗罗贝尼乌斯分裂与通常性之间的关系，证明了弗罗贝尼乌斯分裂的代数簇在威特环上的德拉姆-威特上同调是有限生成的，但构造了反例表明其在高维下未必是通常的或霍奇-威特的。本文还证明了凯默尔K3曲面是F-分裂（通常）当且仅当其对应的阿贝尔曲面是。此外，本文证明了塞尔关于数域上K3曲面与阿贝尔簇的通常约化的猜想，表明在有限基域扩张后，存在密度为1的素数集合，使得这些簇具有通常约化。

ABSTRACT

We examine the relationship between the notion of Frobenius splitting and ordinarity for varieties. We show the following: a) The de Rham-Witt cohomology groups $H^i(X, W({\mathcal O}_X))$ of a smooth projective Frobenius split variety are finitely generated over $W(k)$. b) we provide counterexamples to a question of V. B. Mehta that Frobenius split varieties are ordinary or even Hodge-Witt. c) a Kummer $K3$ surface associated to an Abelian surface is $F$-split (ordinary) if and only if the associated Abelian surface is $F$-split (ordinary). d) for a $K3$-surface defined over a number field, there is a set of primes of density one in some finite extension of the base field, over which the surface acquires ordinary reduction. This paper should be read along with first author's paper `Exotic torsion, Frobenius splitting and the slope spectral sequence' which is also available in this archive.

研究动机与目标

• 澄清在正特征的完美域上光滑射影代数簇中弗罗贝尼乌斯分裂与通常性之间的关系。
• 研究弗罗贝尼乌斯分裂的代数簇是否必然为霍奇-威特或通常的，尤其是在高维情形下。
• 证明塞尔关于数域上K3曲面与阿贝尔簇存在密度为1的素数集合使得其具有通常约化的猜想。
• 分析在弗罗贝尼乌斯分裂与约化类型背景下德拉姆-威特上同调与挠子群的行为。

提出的方法

• 使用德拉姆-威特上同调与Cartier算子分析弗罗贝尼乌斯分裂代数簇中上同调群的结构。
• 应用Illusie-Raynaud与Bloch-Kato关于晶体上同调与霍奇-威特上同调的结果，研究有限性与挠子群性质。
• 通过法诺簇与完全交的显式构造，给出反例，表明在维度≥4时，弗罗贝尼乌斯分裂代数簇未必是霍奇-威特或通常的。
• 借助塞尔猜想与关于典型Serre-Tate提升的结果，证明在有限基域扩张后，K3曲面与阿贝尔簇具有密度为1的通常约化。
• 在阿贝尔曲面情形下，使用$l$-进上同调与典型提升理论，建立凯默尔K3曲面的F-分裂性与通常性等价于其对应阿贝尔曲面的等价性。
• 通过在$S$-整数环上的正规良模与晶体上同调群的行为，分析模素数约化，研究霍奇-威特群中的挠子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有弗罗贝尼乌斯分裂代数簇是否都是霍奇-威特或通常的，尤其是在高维情形下？
• RQ2 K3曲面的F-分裂性是否意味着其通常性，且这是否等价于其对应阿贝尔曲面的通常性？
• RQ3 对于定义在数域上的光滑射影代数簇，是否存在一个有限扩张，使得具有通常约化的素数集合具有密度1？
• RQ4 能否构造出在维度≥4时非霍奇-威特或非通常的弗罗贝尼乌斯分裂代数簇的例子？
• RQ5 对于在素数处具有良约化的代数簇，霍奇阶与德拉姆-威特上同调中的挠子群起什么作用？

主要发现

• 光滑射影弗罗贝尼乌斯分裂代数簇$X$的德拉姆-威特上同调群$H^i(X, W(\fancyscript{O}_X))$在$W(k)$上是有限生成的。
• 存在反例表明，弗罗贝尼乌斯分裂代数簇未必是霍奇-威特或通常的，尤其在维度≥4时。
• 与阿贝尔曲面关联的凯默尔K3曲面是F-分裂（通常）当且仅当该阿贝尔曲面是F-分裂（通常）。
• 对于定义在数域上的K3曲面或阿贝尔簇，存在一个有限扩张，使得具有通常约化的素数集合具有密度1。
• 存在光滑的代数簇纤维化，其底空间与纤维均为通常的，但全空间不是通常的，表明通常性在纤维化下不保持。
• 对于定义在$\mathbb{Q}$上的阿贝尔曲面，存在无穷多个素数$\wp$，使得其霍奇-威特上同调群$H^2(X_\wp, W\Omega^j)$具有无限挠子群，对应于超奇异约化。