[论文解读] Frobenius splitting of cotangent bundles of flag varieties and geometry of nilpotent cones

Shrawan Kumar, Niels Lauritzen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 32

一句话总结

本文在正特征 $p>0$ 下为半单、单连通代数群 $G$ 的旗流形 $G/B$ 的余切丛 $T^*(G/B)$ 建立了一个典范的弗罗贝尼乌斯分裂，将其与斯坦贝格模和幂零锥的几何联系起来。关键结果是：对所有半单群，当 $\lambda$ 为极大权时，高阶上同调 $\mathrm{H}^i(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda) = 0$（$i>0$）的消失性可统一证明，从而推出子正则幂零子簇的正规性、戈伦斯坦性以及有理奇点性质。

ABSTRACT

We use the G-invariant non-degenerate form on the Steinberg module to Frobenius split the cotangent bundle of a flag variety in good prime characteristics. This was previously only known for the general linear group. Applications are a vanishing theorem for pull back of line bundles to the cotangent bundle (proved for the classical groups and G_2 by Andersen and Jantzen and in characteristic zero by B. Broer (for all groups)), normality and rational singularities for the subregular nilpotent variety and good filtrations of the global sections of pull backs of line bundles to the cotangent bundle, which in turn implies good filtrations of cohomology of induced representations.

研究动机与目标

• 为正特征下的旗流形建立余切丛 $T^*(G/B)$ 的典范弗罗贝尼乌斯分裂。
• 将斯坦贝格模 $\mathrm{St}$ 上的 $G$-不变形式 $\chi$ 与 $T^*(G/B)$ 的弗罗贝尼乌斯分裂联系起来。
• 证明对所有极大权 $\lambda$，高阶上同调 $\mathrm{H}^i(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda)$ 的消失性，推广先前结果。
• 通过这一上同调消失性，证明子正则幂零子簇是正规的、戈伦斯坦的，并具有有理奇点。
• 将 $A_n$ 型中的梅塔–万德卡伦分裂推广至其他群及抛物子群。

提出的方法

• 利用 $B$-等变同构 $U \cong \mathfrak{u}$，将 $X = G \times^B U$ 与 $T^*(G/B) = G \times^B \mathfrak{u}$ 识别，从而实现余切丛的几何实现。
• 构造自然映射 $\varphi: \mathrm{St} \otimes \mathrm{St} \to \mathrm{H}^0(X, \mathcal{O}_X)$，其中 $\mathrm{St}$ 为斯坦贝格模。
• 证明 $\varphi(a \otimes b)$ 是 $X$ 的弗罗贝尼乌斯分裂当且仅当 $\chi(a \otimes b) = 1$，从而将表示论与弗罗贝尼乌斯分裂联系起来。
• 利用 $T^*(G/B)$ 的典范弗罗贝尼乌斯分裂，通过引理 9 推出对任意权 $\lambda$，$\mathrm{H}^0(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda)$ 具有良好滤子。
• 应用科祖尔解析与霍奇上同调的对角性，证明消失定理 $\mathrm{H}^i(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda) = 0$（$i > 0$）对所有极大权 $\lambda$ 成立，推广先前结果。
• 证明 $T^*(G/B)$ 的典范分裂诱导出 $\mathrm{H}^i(G_1, \mathrm{H}^0(G/B, \mu))^{[-1]}$ 对所有极大权 $\mu$ 及 $p > h$ 具有良好滤子，推广安德森与扬岑的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 斯坦贝格模上的 $G$-不变形式 $\chi$ 如何与余切丛 $T^*(G/B)$ 的弗罗贝尼乌斯分裂相关联？
• RQ2 能否在所有正特征下的半单群中统一证明高阶上同调 $\mathrm{H}^i(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda)$（$i > 0$）的消失性？
• RQ3 是否 $T^*(G/B)$ 的典范弗罗贝尼乌斯分裂蕴含子正则幂零子簇的有理奇点与正规性？
• RQ4 该典范分裂与 $\mathrm{GL}_n$ 情形下的梅塔–万德卡伦分裂有何关系？
• RQ5 该上同调消失结果能否推广至抛物旗流形与正则极大权？

主要发现

• 通过 $\mathrm{St} \otimes \mathrm{St}$ 的 $B$-模结构，构造了 $T^*(G/B)$ 的典范弗罗贝尼乌斯分裂，且 $\varphi(a \otimes b)$ 是弗罗贝尼乌斯分裂当且仅当 $\chi(a \otimes b) = 1$。
• 对所有极大权 $\lambda$，消失定理 $\mathrm{H}^i(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda) = 0$（$i > 0$）在所有群中统一成立，推广了先前结果。
• 子正则幂零子簇被证明是正规的、戈伦斯坦的，并具有有理奇点，其结论源自上同调消失性。
• $\mathrm{H}^i(G_1, \mathrm{H}^0(G/B, \mu))^{[-1]}$ 对所有极大权 $\mu$ 及 $p > h$ 具有良好滤子，推广了先前结果。
• 通过典范弗罗贝尼乌斯分裂，$T^*(G/B)$ 的典范分裂诱导出 $\mathrm{H}^0(G/B, S\mathfrak{u}^* \otimes \lambda)$ 对任意权 $\lambda$ 的良好滤子。
• 在 $A_n$ 型中，梅塔–万德卡伦分裂是典范分裂函数的第 $N(p-1)$ 个齐次分量，其中 $N = n(n+1)/2$。