[论文解读] From 0D to 1D spatial models using OCMat

Dieter Graß|arXiv (Cornell University)|May 15, 2015

Reservoir Engineering and Simulation Methods被引用 4

一句话总结

本文展示了如何通过有限差分空间离散化，将原本专用于无限时域最优控制问题的 MATLAB 工具箱 OCMat 扩展至分析一维空间分布系统，即将偏微分方程（PDEs）转化为大规模常微分方程（ODEs）系统。该方法使能够对浅湖模型的模式化稳态进行数值分析，识别出异质性无差异阈值点，并证实其在分离同质与异质稳态吸引盆区域中的作用。

ABSTRACT

We show that the standard class of optimal control models in OCMat can be used to analyze 1D spatial distributed systems. This approach is an intermediate step on the way to the FEM discretization approach presented in Grass and Uecker (2015). Therefore, the spatial distributed model is transformed into a standard model by a finite difference discretization. This (high dimensional) standard model is then analyzed using OCMAT. As an example we apply this method to the spatial distributed shallow lake model formulated in Brock and Xepapadeas (2008). The results are then compared with those of the FEM discretization in GRass and Uecker (2015)

研究动机与目标

• 将原本专用于 0D 最优控制问题的 OCMat 的适用范围扩展至一维空间分布系统。
• 弥合标准最优控制分析与基于偏微分方程（PDE）模型的完整有限元法（FEM）离散化之间的差距。
• 数值研究空间浅湖模型中模式化最优稳态（POSS）的存在性及其性质，以及其稳定性。
• 识别并定位异质性无差异阈值点（Skiba 点），这些点用于分隔同质与异质稳态的吸引盆区域。
• 将有限差分方法的结果与先前研究（Grass 和 Uecker, 2015）中基于更精确 FEM 的结果进行验证。

提出的方法

• 对一维浅湖模型 PDE 中的空间导数应用有限差分离散化，将其转化为大规模常微分方程（ODE）系统。
• 将所得的高维 ODE 系统作为输入提供给 OCMat，利用其内置的数值延续与解轨迹追踪能力。
• 在 OCMat 中使用数值延续技术，从稳态点追踪至原点的极值解，识别稳定与不稳定流形。
• 利用 'findindifferencepoint' 函数计算不同稳态路径目标值相等的点，指示无差异阈值点。
• 应用网格自适应与截断时间控制，确保两点边值问题解的数值精度。
• 将有限差分方法的结果与 Grass 和 Uecker (2015) 中基于 FEM 离散化的方法结果进行比较，确认关键发现的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过有限差分离散化，有效将专用于 0D 最优控制问题的 OCMat 扩展至分析一维空间分布系统？
• RQ2 在一维浅湖模型中，异质性无差异阈值点（Skiba 点）的位置与性质是什么？
• RQ3 同质最优稳态（FOSS）与模式化最优稳态（POSS）的吸引盆区域有何不同？阈值流形在其中扮演何种角色？
• RQ4 有限差分离散化方法的结果在多大程度上与 Grass 和 Uecker (2015) 中更精确的基于 FEM 的方法结果一致？
• RQ5 非缺陷 POSS 是否稳定且最优？与缺陷 POSS 相比，其目标值与动态行为有何差异？

主要发现

• 有限差分离散化方法成功使 OCMat 能够分析一维空间最优控制问题，为迈向基于 FEM 的分析提供了一种计算上可行的中间步骤。
• 识别出两个不同的异质性无差异阈值点：一个对应第七个稳态（PCSS 0），另一个对应第四个稳态（PCSS 0），各自分隔了 FOSS 与 POSS 的吸引盆区域。
• 目标值（哈密顿量）分析表明，从第七个稳态出发时，富营养化解是最优的，而寡营养化解则为次优。
• 从无差异阈值点向 FOSS 继续追踪，证实了无差异阈值点连接流形的存在，与 Skiba 点理论一致。
• 有限差分方法的结果与 Grass 和 Uecker (2015) 中基于 FEM 的结果高度一致，验证了该方法的准确性和实用性。
• 该方法成功识别并定位了非缺陷 POSS 及其相关稳定流形，证实了其在最优过渡路径中的作用。