[论文解读] From a monotone probabilistic scheme to a probabilistic max-plus algorithm for solving Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Marianne Akian, Eric Fodjo|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种新颖的随机最大-加法算法，用于求解高维哈密顿-雅可比-贝拉曼（HJB）方程，通过开发一种单调的随机格式，放宽了对哈密顿量扩散矩阵的严格约束。与以往方法要求扩散矩阵下界为正定矩阵不同，该格式在弱假设下确保收敛，包括具有有界系数的强椭圆PDE，从而实现了在具有不确定相关性和变号交叉伽马的5维期权定价模型中高效计算超对冲价格。

ABSTRACT

In a previous work (Akian, Fodjo, 2016), we introduced a lower complexity probabilistic max-plus numerical method for solving fully nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman equations associated to diffusion control problems involving a finite set-valued (or switching) control and possibly a continuum-valued control. This method was based on the idempotent expansion properties obtained by McEneaney, Kaise and Han (2011) and on the numerical probabilistic method proposed by Fahim, Touzi and Warin (2011) for solving some fully nonlinear parabolic partial differential equations. A difficulty of the algorithm of Fahim, Touzi and Warin is in the critical constraints imposed on the Hamiltonian to ensure the monotonicity of the scheme, hence the convergence of the algorithm. Here, we propose a new "probabilistic scheme" which is monotone under rather weak assumptions, including the case of strongly elliptic PDE with bounded coefficients. This allows us to apply our probabilistic max-plus method in more general situations. We illustrate this on the evaluation of the superhedging price of an option under uncertain correlation model with several underlying stocks and changing sign cross gamma, and consider in particular the case of 5 stocks leading to a PDE in dimension 5.

研究动机与目标

• 克服现有完全非线性HJB方程随机格式中严格的单调性约束。
• 使随机最大-加法方法能够应用于一般控制问题，包括具有有界系数的强椭圆PDE。
• 开发一种数值稳定且收敛的格式，保持时间步数和采样规模的多项式复杂度。
• 在高维问题（如具有不确定相关性和非凸收益结构的5维期权定价）中展示该方法的有效性。

提出的方法

• 提出了一种HJB方程中Hessian的新型随机离散化方法，确保在弱假设下（包括有界扩散矩阵）保持单调性。
• 引入一种改进的随机格式，将扩散矩阵的临界下界条件替换为更一般、更宽松的条件。
• 结合McEneaney等人提出的幂等最大-加法结构与Fahim、Touzi和Warin的随机数值方法，实现价值函数作为二次型上确界的向后计算。
• 通过模拟每个离散控制对应的未受控过程，使用有限数量的采样路径。
• 采用剪枝技术管理二次型的指数增长，同时保持时间步数和采样规模的多项式复杂度。
• 采用基于稳定性的近似策略，即在初始状态附近的有界区域内近似价值函数，利用模拟路径在初始点附近集中的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使HJB方程的随机格式在弱于扩散矩阵临界下界条件的假设下保持单调性？
• RQ2 所提出的格式在高维设置（如5维期权定价）中是否保持收敛性和多项式复杂度？
• RQ3 该方法是否能有效处理具有不确定相关性的金融模型中的非凸收益和变号交叉伽马？
• RQ4 在高维问题中，该格式在内存使用和计算时间方面与有限差分法相比表现如何？
• RQ5 在无界域中，使用有限个二次型的上确界，价值函数在多大程度上可以被准确近似，特别是当收益函数非c-凸时？

主要发现

• 所提出的随机格式在弱假设下实现了单调性和收敛性，包括具有有界扩散系数的强椭圆PDE，从而放松了Fahim等人方案中所需的严格下界条件。
• 该算法成功计算了在具有变号交叉伽马和不确定相关性的5种资产期权下的超对冲价格，这是以往方法因非凸性和缺乏拟凸性而失效的案例。
• 在5维情况下，该方法使用12个核心和192GB内存，在约19小时内实现了价值函数的稳定近似，采样规模为Nin = 3000，Nx = 50。
• 5维情况下计算出的价值函数形状与真实解一致，但收敛尚未完全达到，表现为Nin = 2000与Nin = 3000之间的差异与2维情况下的差异相当。
• 与有限差分格式相比，该方法所需内存显著减少——约7.5×10⁵单位对比5维网格的10¹⁰单位，使其在更高维中可行。
• 计算瓶颈被识别为每个时间步中寻找最大二次型的O(Nin² × Nw × d²)优化步骤，提示这是未来加速的关键目标。