[论文解读] From A to B: New Methods to Interpolate Two Poses

Hans-Peter Schröcker|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2017

Advanced Vision and Imaging被引用 4

一句话总结

本文提出了两种新颖的方法，通过在两种标准 SE(3) 点模型的扩展仿射或射影空间中进行线性插值，实现两个刚体位姿之间的插值：齐次变换矩阵和对偶四元数。由此产生的运动是位于由两个输入位姿定义的柱面群内的有理曲线，且为低次曲线——垂直达布运动或三次圆周运动——具有清晰的几何解释，并可参数化。

ABSTRACT

We present two methods to interpolate between two given rigid body displacements. Both are based on linear interpolation in the ambient space of well-known curved point models for the group of rigid body displacements. The resulting motions are either vertical Darboux motions or cubic circular motions. Both are rational of low degree and lie in the cylinder group defined by the two input poses. We unveil the essential parameters in the construction of these motions and discuss some of their properties.

研究动机与目标

• 开发刚体位姿的替代插值方法，以克服螺旋插值的非代数性质等局限性。
• 探索在 SE(3) 点模型的扩展环境空间中使用线性插值，以生成有理的、低次的运动。
• 表征所生成运动的几何与代数性质，特别是其与可展曲面和柱面群的关系。
• 建立运动插值与经典运动学构造（如线对称运动和双曲抛物面）之间的联系。
• 通过扩展的运动映射，使标准 CAD 技术（如 de Casteljau 和 de Boor 算法）能够应用于运动设计。

提出的方法

• 将 SE(3) 的齐次变换矩阵模型 (R12) 和对偶四元数模型 (P7) 扩展到其仿射或射影环境空间，以支持线性插值。
• 在扩展的矩阵空间中应用线性插值，生成相对于双曲抛物面上一族直母线具有线对称性的运动。
• 证明当且仅当对应的双曲抛物面为正交时，所生成的运动位于柱面群中，即当参数 a = ±b 时。
• 利用扩展的对偶四元数模型，通过线性插值得到垂直达布运动，其为有理曲线且具有清晰的几何意义。
• 证明三次圆周运动的传动曲线为缩放和平移后的正切函数，从而将运动参数与轨迹几何直接关联。
• 利用非可逆的扩展运动映射 µ[m]，将标准 CAD 曲线构造（如贝塞尔曲线）传播至刚体运动空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 SE(3) 点模型的扩展环境空间中进行线性插值，是否能产生避免螺旋插值非代数性质的有理、低次运动？
• RQ2 线性插值在扩展矩阵模型中生成的运动所依赖的几何结构（如可展曲面、柱面群）是什么？
• RQ3 双曲抛物面的参数（如 a, b）如何影响运动的对称性及其在柱面群中的成员资格？
• RQ4 在三次圆周运动中，传动曲线（旋转与平移的关系）与生成轨迹几何之间存在何种关系？
• RQ5 在使用扩展运动映射时，标准 CAD 曲线设计技术（如 de Casteljau、de Boor）在多大程度上可被适配于运动设计？

主要发现

• 在扩展矩阵模型中进行线性插值得到的三次圆周运动，相对于双曲抛物面上的一族直母线具有线对称性。
• 当且仅当对应的双曲抛物面为正交时，即当参数 a 和 b 满足 a = ±b 时，该运动位于柱面群中。
• 三次圆周运动的传动曲线为缩放和平移后的正切函数，表明旋转角与平移距离之间存在直接关系。
• 三次圆周运动中点的轨迹为有理曲线，次数为三，且恰好有一个无穷远点；该点方向的正交投影为一个圆。
• 通过扩展的对偶四元数模型，利用线性插值得到的垂直达布运动为有理曲线，且位于由两个输入位姿定义的柱面群中。
• 扩展的运动映射 µ[m] 允许将 CAD 曲线构造（如贝塞尔曲线）传播至运动设计中，从而可在刚体运动上应用 de Casteljau 和 de Boor 算法。