[论文解读] From almost sure local regularity to almost sure Hausdorff dimension for Gaussian fields

Érick Herbin, Benjamin Arras+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文建立了非平稳增量高斯随机场中局部 Hölder 正则性与全局 Hausdorff 维数之间的联系。通过引入确定性的局部次指数并利用过程的增量方差，证明了几乎必然地，任意点邻域内图和像集的 Hausdorff 维数由该点处的局部 Hölder 指数决定，将 Adler 的结果推广至非平稳情形，并将其应用于多分形布朗运动和广义 Weierstrass 函数。

ABSTRACT

Fine regularity of stochastic processes is usually measured in a local way by local H\\"older exponents and in a global way by fractal dimensions. Following a previous work of Adler, we connect these two concepts for multiparameter Gaussian random fields. More precisely, we prove that almost surely the Hausdorff dimensions of the range and the graph in any ball $B(t_0,\ ho)$ are bounded from above using the local H\\"older exponent at $t_0$. We define the deterministic local sub-exponent of Gaussian processes, which allows to obtain an almost sure lower bound for these dimensions. Moreover, the Hausdorff dimensions of the sample path on an open interval are controlled almost surely by the minimum of the local exponents. Then, we apply these generic results to the cases of the multiparameter fractional Brownian motion, the multifractional Brownian motion whose regularity function $H$ is irregular and the generalized Weierstrass function, whose Hausdorff dimensions were unknown so far.

研究动机与目标

• 将 Adler 关于高斯场 Hausdorff 维数的结果从平稳增量过程推广至非平稳增量过程。
• 为多参数高斯场建立局部 Hölder 正则性与全局分形维数之间的一般性联系。
• 定义并利用确定性的局部次指数，以几乎必然地界定图和像集的 Hausdorff 维数。
• 将该框架应用于多分形布朗运动和广义 Weierstrass 函数等具体过程，其正则性函数具有不规则性。
• 解决广义 Weierstrass 函数样本路径 Hausdorff 维数此前未知的问题。

提出的方法

• 引入确定性的局部次指数和局部 Hölder 指数作为量化非平稳高斯场中局部正则性的工具。
• 利用增量方差 $\mathbf{E}[|X_u - X_v|^2]$ 来刻画局部 Hölder 行为，并推导 Hausdorff 维数的上界与下界。
• 应用有限增量定理，控制当 $H$ 为 Hölder 连续时 $\lambda^{-jH(u)}$ 项之间的差值。
• 通过 Hurst 函数 $H(t)$ 的正则性，特别是当 $H$ 为 $\beta$-Hölder 连续时，建立方差的上下界。
• 通过验证所需的方差标度条件，将结果应用于多参数分数阶布朗运动和广义 Weierstrass 函数。
• 利用局部正则性与分形维数之间的联系，推导出在点附近收缩球内 Hausdorff 维数的几乎必然极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过某一点的局部 Hölder 正则性，几乎必然地界定高斯场图和像集的 Hausdorff 维数？
• RQ2 某一点处的局部 Hölder 指数如何影响图和像集在收缩邻域中 Hausdorff 维数的渐近行为？
• RQ3 广义 Weierstrass 函数的图和像集的几乎必然 Hausdorff 维数是多少，其正则性函数 $H$ 为不规则函数？
• RQ4 确定性的局部次指数能否为图和像集的 Hausdorff 维数提供几乎必然的精确下界？
• RQ5 区间上局部 Hölder 指数的最小值是否控制样本路径的全局 Hausdorff 维数？

主要发现

• 对于任意 $t_0 \in \mathbf{R}_+^N$，当 $X$ 为 Hurst 函数 $H$ 为 $\beta$-Hölder 连续的广义 Weierstrass 函数时，$X$ 在球 $B(t_0, \rho)$ 内的几乎必然局部 Hausdorff 维数随着 $\rho \to 0$ 而趋于 $2 - H(t_0)$。
• 在 $t_0$ 的任意邻域内，$X$ 的像集的 Hausdorff 维数几乎必然为 1，与 $H(t_0)$ 无关，这是由于像集的一维性质。
• 广义 Weierstrass 函数的局部 Hölder 指数与次指数满足 $\widetilde{\bbalpha}_X(t_0) = \underline{\bbalpha}_X(t_0) = H(t_0)$ 几乎必然。
• 对于正则性函数 $H(t)$ 不规则的多分形布朗运动，局部正则性由 $H(t_0)$ 决定，且在 $t_0$ 附近收缩球内图的 Hausdorff 维数几乎必然收敛于 $2 - H(t_0)$。
• 通过用基于增量方差导出的局部次指数替代全局指数 $\alpha$，本研究将 Adler 定理推广至非平稳增量高斯场。
• 本文解决了广义 Weierstrass 函数样本路径 Hausdorff 维数的开放问题，表明其在局部几乎必然为 $2 - H(t_0)$，而像集为 1。