[论文解读] From Approximate Factorization to Root Isolation with Application to Cylindrical Algebraic Decomposition

Kurt Mehlhorn, Michael Sagraloff+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 36被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对具有多个根的复系数一元多项式进行根隔离的算法，假设已知不同根的数量，且多项式系数可被任意精度逼近。通过利用近似因式分解——特别是Pan的算法——该方法在隔离半径小于 $2^{-\kappa}$ 的圆盘内实现 $\tilde{O}(d^3 + d^2\tau + d\kappa)$ 的位复杂度，显著改进了圆柱代数分解任务（如实代数曲线拓扑计算和双变量方程组求解）的随机化复杂度界。

ABSTRACT

We present an algorithm for isolating the roots of an arbitrary complex polynomial $p$ that also works for polynomials with multiple roots provided that the number $k$ of distinct roots is given as part of the input. It outputs $k$ pairwise disjoint disks each containing one of the distinct roots of $p$, and its multiplicity. The algorithm uses approximate factorization as a subroutine. In addition, we apply the new root isolation algorithm to a recent algorithm for computing the topology of a real planar algebraic curve specified as the zero set of a bivariate integer polynomial and for isolating the real solutions of a bivariate polynomial system. For input polynomials of degree $n$ and bitsize $τ$, we improve the currently best running time from $ O(n^{9}τ+n^{8}τ^{2})$ (deterministic) to $ O(n^{6}+n^{5}τ)$ (randomized) for topology computation and from $ O(n^{8}+n^{7}τ)$ (deterministic) to $ O(n^{6}+n^{5}τ)$ (randomized) for solving bivariate systems.

研究动机与目标

• 开发一种根隔离算法，用于处理当已知不同根数量时，具有多个根的一元复多项式。
• 支持使用可提供多项式系数任意精度近似的系数预言机。
• 降低根隔离及相关代数几何问题的位复杂度，特别是针对圆柱代数分解。
• 改进计算实平面代数曲线拓扑与求解双变量多项式方程组的最先进复杂度界。

提出的方法

• 该算法将近似因式分解作为子程序使用，系数由预言机提供，可返回任意精度的有理近似值。
• 通过计算两两不相交的圆盘实现根的隔离，每个圆盘恰好包含一个具有正确重数的根。
• 每个隔离圆盘的半径受 $\sigma_i / (64n)$ 限制，其中 $\sigma_i$ 是根 $i$ 与其他根之间的分离度。
• 根据根的几何位置自适应调整精度需求，利用关键纤维上的摊销效应。
• 对结式多项式进行精细化分析，并使用依赖于根分离度和系数大小的复杂度界。
• 当与Pan的近似因式分解算法结合使用时，该方法在根隔离及其下游应用中实现了接近最优的位复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当已知不同根数量且可通过预言机访问系数时，能否设计一种高效处理多重根的根隔离算法？
• RQ2 在任意精度系数访问条件下，隔离具有多重根的一元多项式所有根的最优位复杂度是多少？
• RQ3 如何调整根隔离方法以降低高层几何计算（如曲线拓扑与双变量系统求解）中的复杂度？
• RQ4 基于根分离度的自适应精度需求在代数算法中能在多大程度上改善整体复杂度界？
• RQ5 能否通过自适应根隔离方法显著降低圆柱代数分解任务的复杂度？

主要发现

• 该算法在隔离半径小于 $2^{-\kappa}$ 的条件下，以 $\tilde{O}(d^3 + d^2\tau + d\kappa)$ 位运算操作数隔离了整系数多项式的所有根，其系数的位大小为 $\tau$。
• 对于次数为 $d$、位大小为 $\tau$ 的多项式，该方法在根隔离中实现了 $\tilde{O}(d^3 + d^2\tau)$ 的复杂度，与目前已知的最佳界一致。
• 在实平面代数曲线拓扑计算中，复杂度从 $\tilde{O}(n^9\tau + n^8\tau^2)$（确定性）降低至 $\tilde{O}(n^6 + n^5\tau)$（随机化）。
• 在求解双变量多项式系统时，复杂度从 $\tilde{O}(n^8 + n^7\tau)$（确定性）降低至 $\tilde{O}(n^6 + n^5\tau)$（随机化）。
• 改进源于根据根分离度和几何构型自适应调整精度需求，从而实现显著的摊销效应。
• 该方法表明，自适应复杂度分析可在代数几何算法中显著优于最坏情况复杂度界。