[论文解读] From Black-Scholes and Dupire formulae to last passage times of local martingales. Part A : The infinite time horizon

Amel Bentata, Marc Yor|ArXiv.org|Jun 2, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 45被引用 12

一句话总结

本文建立了布莱克-斯科尔斯模型中期权定价与正局部鞅最后通过时点之间的深刻联系，表明期权价格可被解释为与鞅最后一次触及某一水平的时间相关的概率。其核心贡献在于将布莱克-斯科尔斯价格正部期望与最后通过时间分布之间关联的恒等式进行推广，扩展至一般连续局部鞅，并通过时间改变的布朗运动将其与阿扎超级 martingale 及杜普雷公式联系起来。

ABSTRACT

These notes are the first half of the contents of the course given by the second author at the Bachelier Seminar (February 8-15-22 2008) at IHP. They also correspond to topics studied by the first author for her Ph.D.thesis.

研究动机与目标

• 理解布莱克-斯科尔斯模型中期权价格的随机解释，将其视为与随机过程最后通过时间相关的概率。
• 将布莱克-斯科尔斯价格正部期望与最后通过时间分布之间的恒等式推广至一般连续局部鞅。
• 将正局部鞅最后通过时间的分布律与阿扎超级 martingale 及可选时间扩张理论联系起来。
• 将条件概率表示式 P(G_K ≤ t | F_t) = (1 - M_t/K)+ 推广至鞅几乎必然不收敛于零的情形。
• 通过最后通过时间与局部时间的视角，统一布莱克-斯科尔斯公式及相关公式。

提出的方法

• 推导出一个一般恒等式，将连续局部鞅正部期望与其在水平 K 处最后通过时间的分布联系起来。
• 利用时间改变的布朗运动与杜布最大值恒等式，建立期权价格与最后通过时间之间的联系。
• 应用连续过滤扩张理论分析 G_K 前后过程。
• 将恒等式 P(G_K ≤ t | F_t) = (1 - M_t/K)+ 推广至 M_∞ ≠ 0 的情形，推导出公式 E[1_{G_K ≤ t} (K - M_∞)+ | F_t] = (K - M_t)+。
• 通过局部鞅 M_t 的测度变换技术，将问题转化为时间改变的布朗运动框架。
• 应用统一可积 martingale 理论与可选抽样定理，推导出关键恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 布莱克-斯科尔斯公式能否被解释为与标的资产价格最后通过时间相关的概率分布？
• RQ2 对于一般连续正局部鞅且收敛于零的情形，最后通过时间 G_K 的分布律如何表现？
• RQ3 在连续过滤扩张的背景下，最后通过时间 G_K 与阿扎超级 martingale 之间存在何种关系？
• RQ4 当鞅不收敛于零时，恒等式 P(G_K ≤ t | F_t) = (1 - M_t/K)+ 如何推广？
• RQ5 期权定价与最后通过时间之间的联系能否推广至包含对行权价积分的全局框架？

主要发现

• 恒等式 E[(E_t - 1)+] = P(4N² ≤ t) 对标准布朗运动成立，其中 E_t = exp(B_t - t/2)，该结果被推广至任意收敛于零的连续正局部鞅 M_t。
• 对于瞬态扩散过程，最后通过时间 G_K = sup{t : M_t = K} 的分布律被显式计算，恢复了 Pitman 和 Yor (1981) 的结果。
• 当 M_∞ ≠ 0 时，公式 P(G_K ≤ t | F_t) = (1 - M_t/K)+ 被推广为 E[1_{G_K ≤ t} (K - M_∞)+ | F_t] = (K - M_t)+。
• 最后通过时间 G_K 被证明是阿扎随机时间的一个特例，相关超级 martingale 被识别为阿扎超级 martingale 的特例。
• 通过在行权价上积分恒等式，本文建立了布莱克-斯科尔斯公式与局部时间之间的全局联系，类似于从 Tanaka 公式推导 Itô 公式的过程。
• 通过时间改变的布朗运动框架（时间改变由鞅的倒局部时间给出），推导出 G_K 分布律的表示式。