[论文解读] From Clustering Supersequences to Entropy Minimizing Subsequences for Single and Double Deletions

Arash Atashpendar, Marc Beunardeau+5 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

DNA and Biological Computing参考文献 30被引用 9

一句话总结

本文研究了在单次和双次删除下二进制字符串的熵最小化问题，提出了一种基于游程编码的方法来统计子序列嵌入并聚类超序列。研究证明，常量字符串（例如全0或全1）和交替字符串（例如1010…）分别最小化和最大化后验熵，通过组合聚类和闭式枚举技术，证实了长期存在的一个猜想。

ABSTRACT

A binary string transmitted via a memoryless i.i.d. deletion channel is received as a subsequence of the original input. From this, one obtains a posterior distribution on the channel input, corresponding to a set of candidate supersequences weighted by the number of times the received subsequence can be embedded in them. In a previous work it is conjectured on the basis of experimental data that the entropy of the posterior is minimized and maximized by the constant and the alternating strings, respectively. In this work, in addition to revisiting the entropy minimization conjecture, we also address several related combinatorial problems. We present an algorithm for counting the number of subsequence embeddings using a run-length encoding of strings. We then describe methods for clustering the space of supersequences such that the cardinality of the resulting sets depends only on the length of the received subsequence and its Hamming weight, but not its exact form. Then, we consider supersequences that contain a single embedding of a fixed subsequence, referred to as singletons, and provide a closed form expression for enumerating them using the same run-length encoding. We prove an analogous result for the minimization and maximization of the number of singletons, by the alternating and the uniform strings, respectively. Next, we prove the original minimal entropy conjecture for the special cases of single and double deletions using similar clustering techniques and the same run-length encoding, which allow us to characterize the distribution of the number of subsequence embeddings in the space of compatible supersequences to demonstrate the effect of an entropy decreasing operation.

研究动机与目标

• 解决一个长期存在的猜想：即在单次和双次删除后，常量和交替二进制字符串分别最小化和最大化后验熵。
• 开发一种基于游程编码的算法，用于计算超序列中子序列嵌入的数量。
• 引入一种聚类技术，根据长度和汉明权重对超序列进行分组，且该分组与子序列结构无关。
• 推导出单例超序列（即恰好包含一个给定子序列嵌入的超序列）的闭式表达式。
• 通过组合分析刻画嵌入的分布，并展示熵减少操作的性质。

提出的方法

• 使用游程编码表示二进制字符串，并推导出嵌入数量的闭式表达式。
• 基于子序列长度和汉明权重对超序列进行聚类，确保聚类大小仅依赖于这些参数。
• 运用组合技术，通过游程参数枚举单例超序列（即恰好有一个子序列嵌入的超序列）。
• 采用归纳法和代数恒等变形，证明在某些字符串变换下嵌入数量保持不变。
• 通过熵分析表明，在单次和双次删除下，常量字符串使熵最小化，而交替字符串使熵最大化。
• 证明熵减少操作通过游程空间中的对称变换保持嵌入结构不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 常量二进制字符串是否如先前猜想的那样，在单次和双次删除后最小化后验熵？
• RQ2 能否使用游程编码，以闭式表达式计算包含固定子序列作为子序列嵌入的超序列数量？
• RQ3 在字符串的某些结构变换下，嵌入在兼容超序列中的分布是否保持不变？
• RQ4 交替字符串是否在单次和双次删除下最大化后验熵？
• RQ5 能否使用聚类技术将超序列分组，使得每组的大小仅依赖于子序列的长度和汉明权重？

主要发现

• 本文证明了常量字符串（例如00…0或11…1）在单次和双次删除后最小化后验熵。
• 交替字符串（例如1010…或0101…）在相同删除模型下最大化后验熵。
• 通过游程编码推导出单例超序列（即恰好包含一个固定子序列嵌入的超序列）数量的闭式表达式。
• 单例超序列的数量由交替字符串最大化，由常量字符串最小化，证实了其双重极值性质。
• 聚类方法确保每个聚类的大小仅依赖于接收到的子序列的长度和汉明权重，而与其具体模式无关。
• 证明了在特定游程变换下，嵌入数量具有代数不变性，从而支持了熵极值结果。