[论文解读] From completeness of discrete translates to phaseless sampling of the short-time Fourier transform

Philipp Grohs, Lukas Liehr+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2022

Advanced X-ray Imaging Techniques被引用 5

一句话总结

本文建立了一种离散平移完备性与短时傅里叶变换（STFT）相位无关采样之间的新联系，证明了在关联平移系统满足特定密度条件时，紧支紧复值函数可从其谱密度图样本中唯一恢复。关键贡献在于首次为非高斯窗函数（如高斯函数、埃尔米特函数及艾里斑函数）在相位无关STFT采样下提供了恢复保证。

ABSTRACT

We study the uniqueness problem in short-time Fourier transform phase retrieval by exploring a connection to the completeness problem of discrete translates. Specifically, we prove that functions in $L^2(K)$ with $K \subseteq \mathbb{R}^d$ compact, are uniquely determined by phaseless lattice-samples of its short-time Fourier transform with window function $g$, provided that specific density properties of translates of $g$ are met. By proving completeness statements for systems of discrete translates in Banach function spaces on compact sets, we obtain new uniqueness statements for phaseless sampling on lattices beyond the known Gaussian window regime. Our results apply to a large class of window functions, which are relevant in time-frequency analysis and applications.

研究动机与目标

• 将离散平移的经典完备性问题与短时傅里叶变换（STFT）的现代相位恢复问题相连接。
• 建立紧支紧复值函数可从其谱密度图样本中唯一恢复的充分条件。
• 推导出在紧集上连续函数空间中离散平移系统的新完备性结果。
• 为使用非高斯窗函数的相位无关STFT采样提供首个理论恢复保证。

提出的方法

• 利用 $ C(K) $ 中离散平移的完备性，其中 $ K \subseteq \mathbb{R}^d $ 为紧集，以确保平移函数的线性张成在稠密意义下成立。
• 应用平均周期函数理论，刻画在 $ C(K) $ 中平移完备的非平均周期函数。
• 利用STFT谱密度图的结构 $ |V_g f(x,\omega)|^2 $，通过与窗函数 $ g $ 关联的平移系统分析其采样性质。
• 应用复分析与整函数理论，在平移系统满足密度条件时推导相位无关STFT映射的单射性。
• 采用塔卡吉分解与奇异值分解，将结果从单位矩阵推广至任意对称矩阵，应用于生成函数的指数部分。
• 推导出满足相位恢复问题中函数方程的整函数的显式指数形式，从而得出唯一性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，平移系统 $ \mathfrak{T}(f,\Lambda) $ 在紧集 $ K \subseteq \mathbb{R}^d $ 上是完备的？
• RQ2 如何利用离散平移的完备性来保证从谱密度图样本中唯一恢复函数？
• RQ3 采样格的何种密度条件可确保对非高斯窗函数实现相位无关的STFT恢复？
• RQ4 当窗函数非高斯（如艾里斑函数或埃尔米特函数）时，STFT的相位恢复问题是否可唯一求解？
• RQ5 满足函数方程 $ \varphi(z + \lambda) = \psi(z)\sigma(\lambda)e^{-2z^T A \lambda} $ 的整函数的结构为何？其与相位恢复中唯一性的关系如何？

主要发现

• 若关联的平移系统 $ \mathfrak{T}(g, \Lambda) $ 在某个紧集 $ K \subseteq \mathbb{R}^d $ 上于 $ C(K) $ 中完备，则紧支紧复值函数 $ f \in L^2(\mathbb{R}^d) $ 可从其谱密度图 $ |V_g f(x,\omega)|^2 $ 的样本中唯一恢复。
• 若生成函数 $ g $ 非平均周期函数，则可保证 $ C(K) $ 中离散平移的完备性，从而提供恢复的充分条件。
• 本文建立了 $ C(K) $ 中离散平移的新完备性结果，拓展了关于平均周期函数与紧集的既有研究。
• 对于一大类窗函数（包括高斯函数、埃尔米特函数及艾里斑函数），即使不假设窗函数为高斯函数，相位无关STFT采样仍可实现唯一恢复（至全局相位）。
• 函数方程 $ \varphi(z + \lambda) = \psi(z)\sigma(\lambda)e^{-2z^T A \lambda} $ 导出显式指数形式 $ \varphi(z) = \exp(-z^T A z + z^T b + c) $，该形式构成了唯一性证明的基础。
• 通过塔卡吉分解与奇异值分解，将结果推广至任意对称矩阵 $ A $，确保其在一般STFT采样格中的广泛适用性。