[论文解读] From Duels to Battefields: Computing Equilibria of Blotto and Other Games

AmirMahdi Ahmadinejad, Sina Dehghani+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2016

Game Theory and Applications参考文献 45被引用 12

一句话总结

本文提出了一种通用的计算框架，用于在策略空间呈指数级增长的零和博弈中寻找纳什均衡，例如上校布洛托博弈和将军洛托博弈。通过将均衡计算问题转化为双线性博弈策略多面体上的分离 oracle 问题，作者实现了对若干此前难以处理的博弈（包括一种新型对战对决博弈，先前方法失效）的首个多项式时间算法。

ABSTRACT

We study the problem of computing Nash equilibria of zero-sum games. Many natural zero-sum games have exponentially many strategies, but highly structured payoffs. For example, in the well-studied Colonel Blotto game (introduced by Borel in 1921), players must divide a pool of troops among a set of battlefields with the goal of winning (i.e., having more troops in) a majority. The Colonel Blotto game is commonly used for analyzing a wide range of applications from the U.S presidential election, to innovative technology competitions, to advertisement, to sports. However, because of the size of the strategy space, standard methods for computing equilibria of zero-sum games fail to be computationally feasible. Indeed, despite its importance, only a few solutions for special variants of the problem are known. In this paper we show how to compute equilibria of Colonel Blotto games. Moreover, our approach takes the form of a general reduction: to find a Nash equilibrium of a zero-sum game, it suffices to design a separation oracle for the strategy polytope of any bilinear game that is payoff-equivalent. We then apply this technique to obtain the first polytime algorithms for a variety of games. In addition to Colonel Blotto, we also show how to compute equilibria in an infinite-strategy variant called the General Lotto game; this involves showing how to prune the strategy space to a finite subset before applying our reduction. We also consider the class of dueling games, first introduced by Immorlica et al. (2011). We show that our approach provably extends the class of dueling games for which equilibria can be computed: we introduce a new dueling game, the matching duel, on which prior methods fail to be computationally feasible but upon which our reduction can be applied.

研究动机与目标

• 为解决在策略空间呈指数级增长的零和博弈（如上校布洛托博弈）中寻找纳什均衡的计算不可行性问题。
• 开发一种通用方法，将均衡计算问题约化为双线性博弈策略多面体上的分离 oracle 问题。
• 扩展可高效计算均衡的对战博弈类别，特别是针对具有复杂或无限策略空间的游戏。
• 为将军洛托博弈和一种新型对战对决博弈提供首个多项式时间算法，而此前的方法在这些情况下均失效。

提出的方法

• 作者提出一种通用约化：零和博弈中的纳什均衡计算问题，可约化为一个收益等价的双线性博弈策略多面体的分离 oracle 设计问题。
• 他们使用椭球法求解线性规划（LP）近似问题，采用误差容限为 ϵ 的近似分离 oracle。
• 对于将军洛托博弈，他们首先将无限策略空间缩减为一个有限且可计算的子集，再应用该约化方法。
• 该方法依赖于如下事实：若分离 oracle 可在 f(ϵ,n) 时间内求解，则 ϵ-近似均衡可在 O(poly(n)·f(ϵ/β,n)) 时间内计算得出，其中 β 为收益绝对值之和。
• 他们证明，LP 的 ϵ-解可产生一种策略，其最低收益与最小最大收益（MinMax payoff）的差异不超过 ϵ，从而确保近似均衡的质量。
• 该方法被应用于上校布洛托博弈、将军洛托博弈以及一种新型对战对决博弈，展示了其广泛适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否使用一种通用且高效的方法，在策略空间呈指数级增长的零和博弈（如上校布洛托博弈）中计算纳什均衡？
• RQ2 是否存在一种约化方法，可将均衡计算问题转化为双线性博弈策略多面体上的分离 oracle 问题？
• RQ3 该框架能否应用于无限策略空间博弈（如将军洛托博弈）？若能，如何有效缩减策略空间？
• RQ4 该方法是否可扩展至新一类对战博弈（如对战对决博弈），而此前的算法在此类问题上均失效？
• RQ5 使用该方法实现 ϵ-近似均衡的计算复杂度是多少？

主要发现

• 本文首次提出了计算上校布洛托博弈均衡的多项式时间算法，成功克服了策略空间的指数级规模问题。
• 对于将军洛托博弈，作者通过先将无限策略空间缩减为有限子集，再应用分离 oracle 框架，首次实现了多项式时间算法。
• 该方法成功计算出一种新型对战博弈——对战对决博弈的均衡，而此前的计算技术对此类问题无能为力。
• 该框架保证：LP 的 ϵ-近似解可产生一种策略，其收益与最小最大收益的差异不超过 ϵ，从而确保近似均衡的质量。
• 该算法的运行时间为 O(poly(n)·f(ϵ/β,n))，其中 f 为求解 ϵ-分离 oracle 所需时间，当 oracle 高效时，该方法具备多项式时间保证。
• 该方法不仅适用于特定博弈，还具有普适性，为具有结构化收益的广泛类别的零和博弈提供了统一的均衡计算方法。