[论文解读] From finite population optimal stopping to mean field optimal stopping

Mehdi Talbi, Nizar Touzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2022

Insurance, Mortality, Demography, Risk Management被引用 4

一句话总结

本文通过粘性解方法，建立了有限群体最优停止问题向其平均场极限的收敛性。通过将Barles-Souganidis单调格式方法适配至具有吸收的McKean-Vlasov扩散过程，证明了值函数收敛性与混沌传播，表明当唯一性成立时，N人博弈中的最优策略收敛于平均场解。

ABSTRACT

This paper analyzes the convergence of the finite population optimal stopping problem towards the corresponding mean field limit. Building on the viscosity solution characterization of the mean field optimal stopping problem of our previous papers [Talbi, Touzi & Zhang 2021 & 2022], we prove the convergence of the value functions by adapting the Barles-Souganidis [1991] monotone scheme method to our context. We next characterize the optimal stopping policies of the mean field problem by the accumulation points of the finite population optimal stopping strategies. In particular, if the limiting problem has a unique optimal stopping policy, then the finite population optimal stopping strategies do converge towards this solution. As a by-product of our analysis, we provide an extension of the standard propagation of chaos to the context of stopped McKean-Vlasov diffusions.

研究动机与目标

• 建立N人最优停止问题的值函数向相应平均场最优停止问题的收敛性。
• 将极限最优停止策略表征为有限群体最优策略的聚点。
• 将混沌传播框架扩展至被停止的McKean-Vlasov扩散过程。
• 通过利用粘性解理论，在最小正则性假设下证明收敛性。
• 在平均场最优停止背景下，为Barles-Souganidis格式提供一种新颖的应用。

提出的方法

• 将Barles-Souganidis单调格式方法适配至平均场最优停止问题的粘性解理论。
• 基于路径相关PDE理论的启发，使用均值-切线性定义有限维N粒子值函数的粘性次解与超解。
• 证明有限群体值函数的上极限与下极限分别为平均场障碍方程的粘性超解与次解。
• 应用先前工作[55]中的比较原理，推导出等式，从而得出值函数的收敛性。
• 当平均场解唯一时，将极限最优停止策略表征为有限群体策略的极限。
• 利用从递归Snell上包络导出的级联障碍问题结构，分析N人博弈的值函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当N → ∞时，N人最优停止问题的值函数是否收敛于平均场极限？
• RQ2 在何种条件下，有限群体博弈的最优停止策略收敛于平均场最优策略？
• RQ3 Barles-Souganidis格式能否被适配以在具有非马氏结构的平均场最优停止背景下证明收敛性？
• RQ4 在此设定下，混沌传播如何扩展至被停止的McKean-Vlasov扩散过程？
• RQ5 当值函数仅为连续函数时，收敛性所需的正则性条件是什么？

主要发现

• 在值函数仅具有连续性假设的条件下，N人最优停止问题的值函数收敛于平均场值函数，且N → ∞。
• 极限最优停止策略被表征为有限群体最优策略的聚点，当平均场解唯一时，收敛性得到保证。
• 本文为被停止的McKean-Vlasov扩散过程建立了新的混沌传播结果，将经典结果扩展至最优停止背景。
• 粘性解方法允许比以往工作更弱的正则性假设，避免了对系数强光滑性的要求。
• 收敛性证明依赖于粘性理论中一种新颖的切线条件——通过均值实现切线而非逐点切线——该思想受路径相关PDE理论的启发。
• 该方法适用于由递归Snell上包络导出的级联障碍问题结构，为有限群体最优停止问题提供了新的分析框架。