[论文解读] From graphs to signals and back: Identification of network structures using spectral analysis

Ronan Hamon, Pierre Borgnat+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2015

Complex Network Analysis Techniques参考文献 50被引用 6

一句话总结

该论文将谱方法扩展至通过经典多维尺度变换（CMDS）将图转化为信号集合，从而利用信号处理工具分析网络结构（如社区、规则性等）。该方法提出了一种鲁棒的逆变换，能够从噪声或被修改的信号中重建图结构，通过利用信号能量和几何关系实现，展示了通过谱滤波实现图去噪的有效性。

ABSTRACT

Many systems comprising entities in interactions can be represented as graphs, whose structure gives significant insights about how these systems work. Network theory has undergone further developments, in particular in relation to detection of communities in graphs, to catch this structure. Recently, an approach has been proposed to transform a graph into a collection of signals: Using a multidimensional scaling technique on a distance matrix representing relations between vertices of the graph, points in a Euclidean space are obtained and interpreted as signals, indexed by the vertices. In this article, we propose several extensions to this approach, developing a framework to study graph structures using signal processing tools. We first extend the current methodology, enabling us to highlight connections between properties of signals and graph structures, such as communities, regularity or randomness, as well as combinations of those. A robust inverse transformation method is next described, taking into account possible changes in the signals compared to original ones. This technique uses, in addition to the relationships between the points in the Euclidean space, the energy of each signal, coding the different scales of the graph structure. These contributions open up new perspectives in the study of graphs, by enabling processing of graphs through the processing of the corresponding collection of signals, using reliable tools from signal processing. A technique of denoising of a graph by filtering of the corresponding signals is then described, suggesting considerable potential of the approach.

研究动机与目标

• 通过多维尺度变换将图转化为信号，以扩大其在多样化网络结构中的适用性。
• 开发一种鲁棒的逆变换方法，从退化或被修改的信号中重建图，同时保持结构完整性。
• 通过将信号特性与图特征（如社区、规则性、随机性）关联，实现通过信号处理技术对网络进行分析。
• 展示通过滤波源自图结构的信号实现图去噪的潜力。

提出的方法

• 图到信号的转换基于图邻接矩阵导出的距离矩阵，采用经典多维尺度变换（CMDS），将顶点嵌入欧几里得空间。
• 嵌入空间中每个顶点的坐标构成一个以顶点为索引的信号分量，从而实现在图上进行信号处理。
• 通过求解一个约束优化问题实现逆变换，该问题强制保持几何一致性，并利用信号能量对结构尺度进行加权。
• 该方法利用距离矩阵的条件负定性，确保嵌入的有效性，并在信号退化时保持图的拓扑结构。
• 对信号集合应用谱分析，通过特征值与特征向量分解识别如社区和规则性等结构模式。
• 通过在谱域中对信号集合进行滤波，再经鲁棒的逆变换恢复，实现图去噪。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过变换后图数据的信号处理识别图结构（如社区、规则性、随机性）？
• RQ2 在何种条件下可保证从信号到图的逆变换存在且唯一？
• RQ3 如何使逆变换对信号集合中的退化或噪声具有鲁棒性？
• RQ4 谱分析对信号集合的处理在多大程度上能揭示原图的多尺度结构特征？
• RQ5 能否通过滤波信号表示并重构图来有效实现图去噪？

主要发现

• 图到信号的转换保留了所有结构信息，在理想条件下可实现原图的精确重构。
• 逆变换方法对信号退化具有鲁棒性，即使信号被修改或含噪声，也能恢复原图。
• 信号能量被证明编码了图中的结构尺度，是区分全局与局部网络特征的关键度量。
• 对信号集合的谱分析成功识别出社区、规则性及随机结构，结果与已知图论性质一致。
• 通过信号滤波实现的图去噪显著提升了网络结构的恢复效果，证明了该方法在噪声环境中的实际应用价值。
• 对于k-环格栅图，该方法生成的信号对应于谐波振荡，与循环矩阵特征结构的理论预期一致。