[论文解读] From Hopf-Lax formula to optimal weak transfer plan

Yan Shu|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文建立了一个对偶框架，将霍普夫-拉克斯公式与实直线上最优弱运输计划联系起来，证明了对于凸的、径向对称的成本函数，当测度为单变量时，弱运输问题中的最优传输计划与成本函数无关。此外，本文还表明，在势函数满足充分条件时，经典蒙日-安托尼-柯尔莫哥洛夫问题中的最优计划也与成本函数无关，并通过凸分析将排列多面体与哈密顿-雅可比方程联系起来。

ABSTRACT

We study the properties of Hopf-Lax formula restricted to convex functions and characterize the optimal transfer plan for weak transport problem.

研究动机与目标

• 使用霍普夫-拉克斯公式表征实直线上弱运输问题中的最优传输计划。
• 识别经典蒙日-安托尼-柯尔莫哥洛夫问题中最优计划与成本函数无关的条件。
• 通过凸对偶性建立组合结构（排列多面体）与哈密顿-雅可比方程之间的联系。
• 将经典运输中的对偶结果扩展到弱运输，特别是通过下确界卷积算子 $ Q_t^\theta $。
• 为弱运输不等式及其在测度集中和对数索博莱夫不等式中的影响提供理论基础。

提出的方法

• 利用霍普夫-拉克斯公式 $ Q_t^\theta f(x) = \inf_{y} \left\{ f(y) + t\theta\left(\frac{y-x}{t}\right) \right\} $ 作为哈密顿-雅可比方程的解，实现弱运输问题中的对偶性。
• 应用坎托罗维奇对偶性，将弱运输成本表示为 $ \overline{\mathcal{T}}_\theta(\nu|\mu) = \sup_f \left\{ \int Q^\theta f \, d\mu - \int f \, d\nu \right\} $，其中 $ f $ 为凸函数、利普希茨连续且下有界。
• 运用詹森不等式和斯特拉斯滕定理，证明 $ \overline{\mathcal{T}}_\theta(\nu|\mu) = \inf_{\nu_1 \preceq \nu} \mathcal{T}_\theta(\nu_1, \mu) $，将弱运输与凸序联系起来。
• 利用凸势函数 $ g $ 的梯度构造最优运输映射，表明 $ \nabla g(x) $ 在凸性约束下最小化成本。
• 应用下确界卷积算子 $ Q^\theta $ 推导最优性的必要与充分条件，特别是在一维情形下。
• 建立受限下确界卷积不等式 $ \mathrm{rIC}(\theta) $ 与弱运输不等式之间的等价性，使用柯西-施瓦茨不等式与凸性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，弱运输问题中的最优传输计划与凸的、径向对称成本函数的选择无关？
• RQ2 何时经典蒙日-安托尼-柯尔莫哥洛夫问题的最优计划不依赖于成本函数？
• RQ3 霍普夫-拉克斯公式如何用于表征实直线上最优弱运输计划？
• RQ4 在最优运输背景下，排列多面体与哈密顿-雅可比方程之间存在何种联系？
• RQ5 受限下确界卷积不等式如何与弱运输成本不等式及熵界相关联？

主要发现

• 对于单变量概率测度，由于霍普夫-拉克斯公式的结构和凸序的存在，弱运输问题中的最优传输计划与凸的、径向对称的成本函数 $ \theta $ 无关。
• 在 $ \mathbb{R}^n $ 中，若势函数 $ g $ 满足 $ g(x) - \frac{1}{2}\|x\|^2 \in \mathcal{F} $，则映射 $ \nabla g $ 在 $ \theta $ 为凸且径向对称时，对经典与弱运输问题均为最优。
• 最优弱运输成本满足 $ \overline{\mathcal{T}}_\theta(\nu|\mu) = \int \theta(\|x - \nabla g(x)\|) \, d\nu $，其中 $ \nabla g $ 为最优运输映射。
• 在 $ \theta $ 满足增长条件时，对偶公式 $ \overline{\mathcal{T}}_\theta(\nu|\mu) = \sup_f \left\{ \int Q^\theta f \, d\mu - \int f \, d\nu \right\} $ 对于凸、利普希茨连续且下有界的函数 $ f $ 成立。
• 当 $ \alpha + \beta = \theta $ 时，通过柯西-施瓦茨不等式与凸性，有 $ \mathrm{rIC}(\alpha) $ 与 $ \mathrm{rIC}(\beta) $ 蕴含 $ \mathrm{rIC}(\frac{1}{2}\theta) $，表明受限下确界卷积不等式具有次可加性。
• 在一维情形下，$ \mathrm{rIC}(\theta) $ 与弱运输不等式 $ \overline{\mathcal{T}}_\theta \leqslant H(\nu|\mu) $ 等价，将函数不等式与最优运输联系起来。