[论文解读] From Knothe's rearrangement to Brenier's optimal transport map

Nicolas Bonnotte|arXiv (Cornell University)|May 5, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于PDE的平滑延续方法，在环面上实现从Knothe重排到Brenier最优传输映射的连续插值，利用Nash–Moser反函数定理证明演化过程由带有非平凡初值条件的Kantorovich势的退化PDE控制。该结果推广了先前基于ODE的结果，并为数值最优传输开辟了新途径。

ABSTRACT

The Brenier optimal map and the Knothe-Rosenblatt rearrangement are two instances of a transport map, that is to say a map sending one measure onto another. The main interest of the former is that it solves the Monge-Kantorovich optimal transport problem, while the latter is very easy to compute, being given by an explicit formula. A few years ago, Carlier, Galichon, and Santambrogio showed that the Knothe rearrangement could be seen as the limit of the Brenier map when the quadratic cost degenerates. In this paper, we prove that on the torus (to avoid boundary issues), when all the data are smooth, the evolution is also smooth, and is entirely determined by a PDE for the Kantorovich potential (which determines the map), with a subtle initial condition. The proof requires the use of the Nash-Moser inverse function theorem. This result generalizes the ode discovered by Carlier, Galichon, and Santambrogio when one measure is uniform and the other is discrete, and could pave to way to new numerical methods for optimal transportation.

研究动机与目标

• 建立环面上从Knothe重排到Brenier最优传输映射的平滑连续变形。
• 刻画运输映射演化为带有非平凡初值条件的Kantorovich势PDE解的过程。
• 在光滑数据假设下，将先前针对退化代价结构的基于ODE的结果推广至完整的PDE框架。
• 为基于延续技术的最优传输数值方法提供理论基础。

提出的方法

• 本文将Knothe重排与Brenier映射之间的过渡形式化为一个以退化参数t为参数的一族运输映射。
• 推导出控制最优映射随t从0（Knothe）变化到1（Brenier）演化的Kantorovich势ψ(t,x)的PDE。
• 证明该PDE在t=0处退化，需借助Nash–Moser反函数定理以证明解的存在性与光滑性。
• 该方法依赖于势函数Hessian的递归分解，以及对线性化算子系数的精细控制。
• 利用Poincaré型不等式与加权L²估计控制解的高阶范数。
• 构造在Sobolev空间C^n中进行，微分算子系数的界以势函数的C^{n+2}范数为基准保持一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 Knothe–Rosenblatt重排能否通过连续路径平滑地变形为Brenier的最优传输映射？
• RQ2 沿此路径，Kantorovich势的演化由何种PDE控制？
• RQ3 在t=0处的初值条件与标准ODE情形有何不同？其结构如何？
• RQ4 Nash–Moser定理能否用于求解由此产生的退化PDE系统？
• RQ5 该框架是否将已知的针对均匀与离散测度的ODE结果推广至环面上的光滑一般测度？

主要发现

• 从Knothe重排到Brenier映射的最优传输映射演化是光滑的，且由环面上Kantorovich势的PDE控制。
• 该PDE在t=0处具有非平凡初值条件，此条件至关重要，无法简化为简单的ODE形式。
• 在初始测度光滑的假设下，解在所有n的Sobolev空间C^n中存在且光滑。
• 由于PDE在t=0处的退化性，证明依赖于Nash–Moser反函数定理。
• 该方法将Carlier、Galichon与Santambrogio的早期ODE结果推广至具有光滑数据的完整PDE框架。
• 该框架为基于延续与PDE求解器的最优传输数值方法提供了新的理论基础。