[论文解读] From level 2.5 to level 2 large deviations for continuous time Markov chains

Lorenzo Bertini, Alessandra Faggionato+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2012

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文通过将联合经验测度与经验流的概周期性原理（LDP）应用到收缩原理，提供了连续时间马尔可夫链经验测度的多斯克尔-瓦拉达汉大偏差原理的全新推导。关键贡献在于速率函数的对偶表示：一种是上确界形式（来自多斯克尔-瓦拉达汉），另一种是下确界形式（来自收缩过程）；在有限状态空间中，这两种形式的重合与芬赫尔-罗卡费拉尔对偶性相关联。

ABSTRACT

We recover the Donsker-Varadhan large deviations principle (LDP) for the empirical measure of a continuous time Markov chain on a countable (finite or infinite) state space from the joint LDP for the empirical measure and the empirical flow proved in [2].

研究动机与目标

• 为连续时间马尔可夫链经验测度的多斯克尔-瓦拉达汉大偏差原理（LDP）提供一种替代证明。
• 通过[2]中已建立的联合经验测度与经验流的LDP，利用收缩原理推导经验测度的LDP。
• 建立速率函数的对偶表示：一种为上确界形式（标准多斯克尔-瓦拉达汉形式），另一种为下确界形式（来自收缩过程）。
• 证明在有限维情形下，速率函数的上确界与下确界形式之间的对偶性是芬赫尔-罗卡费拉尔对偶定理的一个实例。

提出的方法

• 以[2]中建立的联合经验测度与经验流的概周期性原理（LDP）作为基础结果。
• 应用收缩原理，从联合LDP推导经验测度的LDP。
• 将经验测度μ_T定义为路径上狄拉克测度的时间平均，将经验流Q_T定义为状态间跳跃次数的时间平均。
• 引入流上的散度算子，并通过流Q^μ的散度为零来刻画不变测度。
• 运用芬赫尔-罗卡费拉尔对偶性，关联速率函数的上确界与下确界形式。
• 利用定向图上梯度函数的几何表征，分析对偶速率函数的支集。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过经验测度与经验流的联合LDP，利用收缩方法推导出经验测度的多斯克尔-瓦拉达汉LDP？
• RQ2 来自多斯克尔-瓦拉达汉的速率函数的上确界形式与来自收缩过程的下确界形式之间有何关系？
• RQ3 在有限状态空间中，速率函数的两种形式的重合如何与凸对偶性相关联？
• RQ4 图结构（通过广义路径）的何种几何条件决定了一个函数在边集上是否为梯度？
• RQ5 流的无散度条件在速率函数的对偶表示中起何种作用？

主要发现

• 成功通过经验测度与经验流的联合LDP的收缩方法，恢复了经验测度的多斯克尔-瓦拉达汉LDP。
• 速率函数I(μ)具有两种表示形式：一种是关于正函数h的上确界形式，表达为−⟨μ, h⁻¹Lh⟩；另一种是关于无散度流Q的下确界形式，表达为相对熵Φ(Q|Q^μ)。
• 在有限状态空间情形下，速率函数的上确界与下确界形式之间的对偶性等价于芬赫尔-罗卡费拉尔对偶定理。
• 定义在边集E_μ上的函数f是梯度（即f = ∇g）当且仅当沿任意两条端点相同的广义路径，f的积分为相等。
• 对偶速率函数ψ*(f)在f为梯度时为零，否则为无穷大，这通过路径无关性刻画了对偶速率函数的支集。
• 证明揭示，底层图的几何结构——特别是非同伦闭合圈的存在——决定了函数无法成为梯度，从而导致对偶值为无穷大。