[论文解读] From (Martingale) Schrodinger bridges to a new class of Stochastic Volatility Models

Pierre Henry‐Labordère|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文提出了一类新型随机波动率模型（SVMs），通过马林加尔施罗宁格桥方法调整波动率过程的漂移项，实现对市场平价期权、VIX期权和已实现波动率衍生品的精确校准。与局部随机波动率模型不同，该方法在校准后保持瞬时波动率波动率结构不变，且采用动态Sinkhorn算法实现高效数值校准，揭示了其与Dyson非碰撞布朗运动之间的深层联系。

ABSTRACT

Following closely the construction of the Schrodinger bridge, we build a new class of Stochastic Volatility Models exactly calibrated to market instruments such as for example Vanillas, options on realized variance or VIX options. These models differ strongly from the well-known local stochastic volatility models, in particular the instantaneous volatility-of-volatility of the associated naked SVMs is not modified, once calibrated to market instruments. They can be interpreted as a martingale version of the Schrodinger bridge. The numerical calibration is performed using a dynamic-like version of the Sinkhorn algorithm. We finally highlight a striking relation with Dyson non-colliding Brownian motions.

研究动机与目标

• 开发一类新型随机波动率模型，精确匹配市场平价期权、VIX期权和已实现波动率期权的价格。
• 保持原始模型的瞬时波动率波动率结构不变，避免局部随机波动率模型引入的失真。
• 确保校准后的模型在风险中性测度下仍为局部鞅，从而避免套利机会。
• 提出一种基于动态Sinkhorn算法的数值高效校准方法。
• 建立所得到的模型动态与Dyson非碰撞布朗运动之间的理论联系。

提出的方法

• 通过马林加尔施罗宁格桥问题的鞅版本构建模型，最小化相对熵，同时约束股票价格为鞅。
• 通过求解一个引入时间与状态相关漂移项的随机控制问题实现校准，从而保持原始波动率波动率结构不变。
• 利用涉及相关系数与波动率函数的非线性项的Burgers型PDE的对偶公式推导动态。
• 测度变换的Radon-Nikodym导数表示为对偶控制问题解的指数鞅。
• 采用动态Sinkhorn算法进行数值校准，迭代调整漂移项以匹配目标边缘分布。
• 通过引入额外控制项对已实现波动率进行约束，将方法扩展至包含类似VIX的约束，确保与VIX期权的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不改变瞬时波动率波动率结构的前提下，将随机波动率模型校准至平价期权、VIX期权和已实现波动率期权？
• RQ2 如何将Schrödinger桥框架适配至随机波动率模型中，以施加鞅约束？
• RQ3 向波动率过程添加状态依赖漂移项对模型动态与校准特性有何影响？
• RQ4 所得到的模型动态能否与已知的随机过程（如Dyson非碰撞布朗运动）建立联系？
• RQ5 在实际应用中，如何高效计算校准过程，特别是针对高维或路径依赖型衍生品？

主要发现

• 所提出的模型通过仅调整波动率过程的漂移项，即可实现对市场平价期权、VIX期权和已实现波动率期权的精确校准，且不改变原始波动率波动率结构。
• 校准后的模型在风险中性测度下仍为真正的鞅，确保无套利，这与以往Schrödinger桥方法未能保持鞅性质形成鲜明对比。
• 采用动态Sinkhorn算法实现高效数值校准，使复杂衍生品定价具备实际可操作性。
• 对偶控制问题的解导出一个Burgers型PDE，其解决定了最优漂移与Radon-Nikodym导数。
• 模型动态与Dyson非碰撞布朗运动之间建立了显著联系，暗示了更深层次的数学结构。
• 该方法为在单一统一的随机波动率模型中整合多种市场约束（边缘分布与已实现波动率）提供了连贯的框架。