[论文解读] From Matching with Diversity Constraints to Matching with Regional Quotas

Haris Aziz, Serge Gaspers+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Global trade and economics被引用 28

一句话总结

本文提出了一种从带有多样性约束的学校选择问题到具有区域配额的医院-医生匹配问题的多项式时间归约，证明了匹配的可行性与稳定性在变换下得以保持。其核心贡献在于建立了两个模型之间的正式联系，实现了复杂性结果与算法解法的相互转移，表明一个模型中的NP完全性意味着另一个模型中的NP完全性，且一个模型中的积极结果可导出另一个模型中的对应结果。

ABSTRACT

In the past few years, several new matching models have been proposed and studied that take into account complex distributional constraints. Relevant lines of work include (1) school choice with diversity constraints where students have (possibly overlapping) types and (2) hospital-doctor matching where various regional quotas are imposed. In this paper, we present a polynomial-time reduction to transform an instance of (1) to an instance of (2) and we show how the feasibility and stability of corresponding matchings are preserved under the reduction. Our reduction provides a formal connection between two important strands of work on matching with distributional constraints. We then apply the reduction in two ways. Firstly, we show that it is NP-complete to check whether a feasible and stable outcome for (1) exists. Due to our reduction, these NP-completeness results carry over to setting (2). In view of this, we help unify some of the results that have been presented in the literature. Secondly, if we have positive results for (2), then we have corresponding results for (1). One key conclusion of our results is that further developments on axiomatic and algorithmic aspects of hospital-doctor matching with regional quotas will result in corresponding results for school choice with diversity constraints.

研究动机与目标

• 建立两个不同匹配模型之间的正式数学联系：带有多样性约束的学校选择与具有区域配额的医院-医生匹配。
• 证明从一个模型到另一个模型的多项式时间归约过程中，匹配的可行性与稳定性得以保持。
• 表明在带有多样性约束的学校选择问题中检查可行且稳定结果的存在性为NP完全问题，这一结果可推广至具有区域配额的医院-医生匹配问题。
• 实现正向算法结果的转移——例如，从区域配额模型中获得的稳定结果的多项式时间算法——可应用于多样性约束模型。
• 通过揭示一个模型中的发展可直接推导出另一个模型中的相应进展，统一现有文献。

提出的方法

• 构建一种归约，将多样性约束学校选择实例中的每所学校的配置映射为区域配额实例中的一组医院，同时将类型特定的配额作为区域上限加以保留。
• 将学校选择模型中的学生类型映射为医院-医生模型中的区域分配，确保区域配额反映类型特定的约束。
• 通过将归约后实例中的优先级顺序与原始学校选择模型中使用的主列表对齐，保持稳定性。
• 通过将每所学校的能力与类型特定配额建模为同一区域内的医院区域约束，确保可行性得以维持。
• 利用该归约转移复杂性结果：若在一个模型中检查可行性与稳定性为NP完全问题，则在另一个模型中亦为NP完全问题。
• 应用该归约证明，正向结果（如通过序列独裁机制存在稳定结果）可从区域配额模型转移到多样性约束学校选择模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在带有多样性约束的学校选择与具有区域配额的医院-医生匹配之间的正式数学联系？
• RQ2 能否在保持可行性与稳定性的同时，将一个模型中可行且稳定结果的存在性归约为另一个模型？
• RQ3 在带有多样性约束的学校选择问题中检查可行且稳定结果的存在性为NP完全问题，是否意味着在具有区域配额的医院-医生匹配问题中也为NP完全问题？
• RQ4 能否将正向算法结果（如稳定结果的多项式时间算法）从区域配额模型转移到多样性约束模型？
• RQ5 该归约在多大程度上可推广至更复杂的变体，如基于位置的优先级或软性配额？

主要发现

• 从带有多样性约束的学校选择问题到具有区域配额的医院-医生匹配问题的归约，保持了匹配的可行性与稳定性。
• 检查带有多样性约束的学校选择问题中是否存在可行且稳定的结果为NP完全问题，且该结果可推广至具有区域配额的医院-医生匹配问题。
• 在区域配额模型中为正向结果（如通过序列独裁机制存在稳定结果）可推导出在多样性约束模型中的对应结果。
• 该归约使得算法解法得以转移：例如，对归约后实例应用序列独裁机制，可在原始学校选择模型中获得可行、无浪费且按主列表公平的匹配结果。
• 该正式联系统一了此前彼此独立的研究方向，实现了公理与算法洞见在模型间的跨模型转移。
• 该归约可推广至高级变体，包括基于位置的优先级与软性多样性约束，同时保持两模型间的映射关系。