[论文解读] From Matrix Models and quantum fields to Hurwitz space and the absolute Galois group

Robert de Mello Koch, Sanjaye Ramgoolam|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2010

advanced mathematical theories参考文献 75被引用 58

一句话总结

本文建立了赫米特一矩阵模型中相关函数与三元置换组合计数问题之间的直接对应关系，后者用于分类从黎曼曲面到黎曼球面、具有三个分支点的全纯映射。利用黎曼存在性定理和贝利定理，证明这些映射定义在代数数上，绝对伽罗瓦群通过置换三元组作用于费曼图，将矩阵模型与格罗滕迪克的儿童画（Dessins d'Enfants）联系起来，并在 $\bar{\mathbb{Q}}$ 上实现了弦理论的实现。其核心贡献在于建立了矩阵模型相关函数与具有伽罗瓦不变结构的赫鲁维茨空间之间的组合-几何对偶性。

ABSTRACT

We show that correlators of the hermitian one-Matrix model with a general potential can be mapped to the counting of certain triples of permutations and hence to counting of holomorphic maps from world-sheet to sphere target with three branch points on the target. This allows the use of old matrix model results to derive new explicit formulae for a class of Hurwitz numbers. Holomorphic maps with three branch points are related, by Belyi's theorem, to curves and maps defined over algebraic numbers $\bmQ$. This shows that the string theory dual of the one-matrix model at generic couplings has worldsheets defined over the algebraic numbers and a target space $ \mP^1 (\bmQ)$. The absolute Galois group $ Gal (\bmQ / \mQ) $ acts on the Feynman diagrams of the 1-matrix model, which are related to Grothendieck's Dessins d'Enfants. Correlators of multi-matrix models are mapped to the counting of triples of permutations subject to equivalences defined by subgroups of the permutation groups. This is related to colorings of the edges of the Grothendieck Dessins. The colored-edge Dessins are useful as a tool for describing some known invariants of the $ Gal (\bmQ / \mQ) $ action on Grothendieck Dessins and for defining new invariants.

研究动机与目标

• 建立矩阵模型相关函数与置换三元组组合计数之间的精确映射。
• 证明在一矩阵模型中，世界面拓扑结构通过贝利定理在 $\bar{\mathbb{Q}}$ 上定义。
• 证明绝对伽罗瓦群 $Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 通过其在置换三元组及相应儿童画上的作用，作用于矩阵模型的费曼图。
• 通过引入彩色边儿童画与子群不变量，将该框架推广至多矩阵模型。
• 利用边着色的带边图构造伽罗瓦作用的新组合不变量。

提出的方法

• 利用黎曼存在性定理，将一矩阵模型的相关函数映射为对称群 $S_d$ 中满足 $\sigma_0\sigma_1\sigma_\infty = 1$ 的三元置换 $\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty$ 的等价类。
• 应用贝利定理，将此类三元组解释为从黎曼曲面到 $\mathbb{P}^1$ 的全纯映射，具有三个分支点，因此定义在 $\bar{\mathbb{Q}}$ 上。
• 通过取贝利映射下区间 $[0,1]$ 的原像，将这些映射表示为格罗滕迪克的儿童画，其中 0 和 1 的原像分别对应黑色和白色顶点。
• 利用维克定理，将高斯模型与微扰矩阵模型的相关函数表示为收缩项之和，这些收缩项被映射为置换三元组。
• 通过在儿童画中引入对应于不同矩阵类型的彩色边，将框架推广至多矩阵模型，其中颜色定义了 $S_{2n}$ 子群下的等价关系。
• 在赫鲁维茨空间上构造彩色儿童画的层，以描述多矩阵模型可观测量及其伽罗瓦不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将一矩阵模型的相关函数映射为置换三元组与全纯映射？
• RQ2 一矩阵模型弦理论对偶中的目标空间与世界面几何具有何种算术性质？
• RQ3 绝对伽罗瓦群 $Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 如何作用于矩阵模型的费曼图？
• RQ4 从多矩阵模型中边着色的儿童画中可提取出哪些伽罗瓦作用的新不变量？
• RQ5 多迹算符在多矩阵模型中如何与子群不变的置换结构相关联？

主要发现

• 通过黎曼存在性定理，具有任意势能的一矩阵模型相关函数被映射为满足 $\sigma_0\sigma_1\sigma_\infty = 1$ 的置换三元组 $\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty$ 的等价类。
• 在一矩阵模型于一般耦合常数下的弦理论对偶中，世界面定义在 $\bar{\mathbb{Q}}$ 上，目标空间为 $\mathbb{P}^1(\bar{\mathbb{Q}})$，这是由贝利定理所保证的。
• 绝对伽罗瓦群 $Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 通过其在置换三元组及相应儿童画上的作用，作用于矩阵模型的费曼图。
• 彩色边儿童画为描述格罗滕迪克儿童画上伽罗瓦作用的已知与新不变量提供了新的组合框架。
• 多矩阵模型相关函数被映射为受 $S_{2n}$ 子群定义的等价关系约束的置换三元组，推广了一矩阵模型的情形。
• 该框架通过矩阵模型相关函数的计算，导出了赫鲁维茨数一类的显式公式。