[论文解读] From microscopic theory to macroscopic theory: dynamics of the rod-like liquid crystal molecules

Wei Wang, Pingwen Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2013

Liquid Crystal Research Advancements参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文通过系统的多尺度方法，从棒状液晶的微观动力学理论出发，推导出Ericksen-Leslie方程：从Doi-Onsager方程出发，应用Bingham闭合方法得到Q-张量模型，再取小德博拉数极限，导出宏观流体动力学模型。关键贡献在于从分子参数严格推导出Leslie系数和弹性常数，明确建立了微观动力学与宏观向列液晶行为之间的联系，显式依赖于分子有序参数和相互作用核函数。

ABSTRACT

Starting from Doi-Onsager equation for the liquid crystal, we first derive the Q-tensor equation by the Bingham closure. Then we derive the Ericksen-Leslie equation from the Q-tensor equation by taking the small Deborah number limit.

研究动机与目标

• 建立棒状液晶微观动力学理论与宏观流体动力学模型之间的桥梁。
• 利用Bingham闭合近似，从Doi-Onsager方程推导Q-张量方程。
• 在小德博拉数极限下，严格推导Ericksen-Leslie方程。
• 将Leslie弹性系数和Frank常数用分子参数（如$J_i$、$S_2$和$S_4$）表示。
• 在宏观模型中包含平动扩散与转动弛豫效应，使其区别于以往的Q-张量模型。

提出的方法

• 通过在取向分布函数上应用Bingham闭合，从无量纲的Doi-Onsager方程推导出Q-张量方程。
• 引入自由能泛函$A_\varepsilon[f]$，并采用长程Maier-Saupe相互作用核$B_\varepsilon$以描述非局域分子间相互作用。
• 定义化学势$\mu_\varepsilon = \delta A_\varepsilon / \delta f$，并利用其通过矩闭合推导Q-张量演化方程。
• 对Q-张量方程应用小德博拉数极限（$De \to 0$），得到包含显式Leslie系数与弹性系数的Ericksen-Leslie系统。
• 从Q-张量动力学推导出耗散应力张量$\sigma^{\text{dis}}$与主动应力$\sigma^a$，包含转动与平动扩散的贡献。
• 通过显式公式，将Oseen-Frank弹性常数$K_1, K_2, K_3$表示为分子参数$J_1, \dots, J_5$、$S_2$与$S_4$的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过矩闭合方法，系统地从Doi-Onsager动力学方程推导出Q-张量模型？
• RQ2 Bingham闭合在连接分布函数与张量型序参量之间起到何种作用？
• RQ3 小德博拉数极限如何将Q-张量动力学转化为Ericksen-Leslie流体动力学模型？
• RQ4 分子相互作用参数与宏观Leslie弹性常数之间的显式关系为何？
• RQ5 Q-张量模型中的平动与转动扩散项，与Beris-Edwards及Qian-Sheng模型中的有何不同？

主要发现

• 通过Bingham闭合，从Doi-Onsager方程推导出Q-张量方程，其动力学由化学势$\mu_Q = \delta E / \delta Q$控制。
• 小德博拉数极限下得到Ericksen-Leslie系统，Leslie系数与$\gamma_1, \gamma_2$得以保留，Ericksen能量被替换为Oseen-Frank能量。
• 弹性常数$K_1, K_2, K_3$显式表示为分子参数的函数：$K_1 = 2S_2^2(J_1 + J_3) + S_4^2(\frac{16}{7}J_2 + \frac{92}{49}J_4) - \frac{6}{7}J_5 S_2 S_4$，且$K_2, K_3$具有类似表达式。
• 模型中包含一个Beris-Edwards与Qian-Sheng模型中所无的平动扩散项$\frac{\varepsilon}{De} \mathcal{N}(\mu_Q)$，用于描述非局域分子扩散。
• 转动扩散项$\frac{2}{De}(\mathcal{M}_Q + \mathcal{M}_Q^T)(\mu_Q)$源自Doi的动力学理论，确保与微观动力学的一致性。
• 耗散应力$\sigma^{\text{dis}}$与主动应力$\sigma^a$从能量泛函一致推导得出，其中$\sigma^a = Q \cdot \mu_Q - \mu_Q \cdot Q$。