[论文解读] From moment explosions to the asymptotic behavior of the cumulative distribution

Sidi Mohamed Ould Aly|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2013

Advanced Statistical Process Monitoring被引用 1

一句话总结

本文建立了随机变量的矩 generating function（MGF）与互补累积分布函数（CCDF）尾部渐近行为之间的Tauberian关系。当MGF在有限临界点发散时，本文从该奇点附近的MGF行为中推导出CCDF的确切渐近衰减速率，并将结果应用于CIR过程及其时间积分的叠加。

ABSTRACT

We study the Tauberlan relations between the moment generating function of a random variable and the complementary cumulative distribution function of this variable. We show that if the moment generating function is finite only on part of the real line, then the behavior of the MGF near the critical moment gives the asymptotic behavior of the complementary cumulative distribution function of this variable. We apply our results to an arbitrary superposition of a CIR process and the time-integral of this process.

研究动机与目标

• 理解矩生成函数（MGF）发散与随机变量分布尾部行为之间的联系。
• 建立严格的Tauberian定理，将MGF的关键矩与互补累积分布函数（CCDF）的渐近衰减联系起来。
• 分析由CIR过程及其时间积分叠加形成的随机变量的尾部行为。
• 提供一种方法，从MGF在其收敛边界附近的解析结构推导出渐近尾部概率。

提出的方法

• 利用Tauberian定理，将MGF在其有限收敛半径附近的渐近行为与分布的尾部衰减联系起来。
• 刻画MGF不再为有限值的临界时刻，将其识别为尾部行为的关键。
• 将推导出的关系应用于特定过程类：CIR过程及其时间积分的和。
• 使用Laplace变换和渐近分析，从MGF的奇点类型中提取CCDF的幂律或指数衰减速率。
• 分析叠加过程的MGF，确定其收敛半径和奇点结构。
• 基于MGF在临界时刻附近的行為，利用已知的Laplace变换Tauberian结果，推导出CCDF的确切渐近形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 MGF在有限临界点发散如何决定分布的尾部衰减速率？
• RQ2 当MGF在有限矩处具有奇点时，互补累积分布函数的精确渐近行为是什么？
• RQ3 Tauberian理论如何应用于连接扩散过程中MGF奇点与分布尾部性质？
• RQ4 给定MGF的收敛性质，CIR过程及其时间积分的叠加的尾部行为如何？
• RQ5 能否从MGF在临界时刻附近的局部行为显式计算渐近尾部衰减？

主要发现

• 互补累积分布函数的渐近尾部衰减完全由矩生成函数在其收敛半径处的奇点性质决定。
• 若MGF在有限临界时刻发散，则CCDF的衰减速率与MGF的奇点类型一致，如幂律或指数衰减。
• 对于CIR过程及其时间积分的叠加，MGF具有有限收敛半径，其尾部行为由MGF在该边界附近的解析结构推导得出。
• 该方法可无需显式路径模拟或数值反演，直接推导出CCDF的确切渐近表达式。
• 该结果为具有有限MGF定义域的随机过程中的极端事件概率提供了严格的分析框架。
• 该方法即使在分布未显式已知的情况下，也能基于MGF在临界点附近的行為推导出尾部渐近性态。