[论文解读] From optimal stopping boundaries to Rost's reversed barriers and the Skorokhod embedding

Tiziano De Angelis|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用 13

一句话总结

本文提出了一种新的概率证明，将布朗运动的最优停时问题与Rost对Skorokhod嵌入问题的解联系起来。通过分析有限-horizon最优停时问题的时变反转最优停时边界，作者证明这些边界构成了Rost的反转条形，通过随机分析方法直接建立了联系，无需使用PDE或粘性解方法，并将结果推广至含原子的测度。

ABSTRACT

We provide a new probabilistic proof of the connection between Rost's solution of the Skorokhod embedding problem and a suitable family of optimal stopping problems for Brownian motion with finite time-horizon. In particular we use stochastic calculus to show that the time reversal of the optimal stopping sets for such problems forms the so-called Rost's reversed barrier.

研究动机与目标

• 建立有限-horizon最优停时问题与Rost对Skorokhod嵌入问题解之间的直接概率联系。
• 仅使用随机分析提供该联系的全新证明，避免使用PDE或粘性理论。
• 通过允许目标测度μ包含原子，将先前结果扩展至此前研究（如McConnell, 2013）所排除的情形。
• 刻画最优停时问题中值函数及其时间导数的正则性。
• 证明最优停时集的时间反转构成一个Rost反转条形，该条形嵌入目标测度μ。

提出的方法

• 为布朗运动B设定一个有限-horizon最优停时问题，其收益函数为G(x) = 2∫₀ˣ(Fₙᵤ(z) − Fₘᵤ(z))dz。
• 将继续集𝒞_T与停止集𝒟_T定义为互为补集，其边界由右连续单调函数刻画。
• 通过将T > 0的族{𝒟_T}扩展至[0, ∞)，构造时间反转的停止集𝒟⁻_∞。
• 证明时间反转集𝒟⁻_∞构成一个Rost反转条形，即(t, Wₜ)首次 hitting 𝒟⁻_∞的时间σ*满足W_σ* ~ μ。
• 利用占时公式与本地时性质分析值函数V及其时间导数V_t，证明V_t在[0,T) × ℝ上连续。
• 建立近似问题在光滑化测度μ_k下的收敛性，以恢复原问题，并证明继续集收缩至极限集。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅通过随机分析证明最优停时问题与Rost反转条形之间的联系，而无需使用PDE或粘性解方法？
• RQ2 时间反转在将最优停时边界转化为Rost反转条形的过程中起什么作用？
• RQ3 该结果能否推广至包含原子的目标测度μ，而不仅限于先前研究中考虑的连续情形？
• RQ4 值函数V_t的时间导数与在继续集内吸收的布朗运动的转移密度有何关系？
• RQ5 在累积分布函数不连续的情况下，值函数V及其导数（特别是V_t）的正则性如何？

主要发现

• 有限-horizon最优停时问题的最优停时集的时间反转构成一个Rost反转条形，嵌入目标测度μ。
• 值函数V_t在[0,T) × ℝ上连续，该结果完全通过概率方法证明，在文献中为新发现。
• 时间导数V_t可表示为在继续集内吸收的布朗运动的转移密度的随机表达式。
• 对于含原子的近似测度μ_k，对应的继续集𝒞_k构成一个递减序列，收敛于原始继续集𝒞_T。
• 原问题的最优停时τ*是近似问题最优停时τ*ₖ的几乎必然极限，确保嵌入的收敛性。
• 该构造可推广至含原子的测度μ，推广了McConnell的结果（其要求测度连续）。