[论文解读] From PDE Systems and Metrics to Generalized Field Theories

Constantin Udrişte, Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2001

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文提出了一种广义场论框架，通过在 $J^1(T,M)$ 上构造一个黎曼度量，将喷丛上的首阶偏微分方程（PDE）组转化为调和映射问题。通过赋予喷从空间一个类似Sasakian的度量 $S = h + \varphi + h^{-1} \ast \varphi$，所有 $C^2$ 解均成为调和映射，并最小化一个最小二乘拉格朗日量，从而利用拉格朗日几何方法解决了由庞加莱启发的广义逆问题。

ABSTRACT

The paper proved that every $C^2$-solution of a given first order PDEs system, regarded on the jet fibre bundle of order one $J^1(T,M)$, may be viewed as a "generalized harmonic map", via the least squares variational method. Our ideas are structured in the following way: 1) we find a suitable geometrical structure on $J^1(T,M)$ that convert the solutions of the given PDEs system into "generalized harmonic maps"; 2) we build a natural geometry induced by a such PDEs system; 3) we construct a field theory, in a general setting, naturally attached to this PDEs system.

研究动机与目标

• 解决庞加莱最初提出但因缺乏合适几何结构而长期未解的广义逆问题。
• 在首阶喷从丛 $J^1(T,M)$ 上建立一个几何框架，将给定PDE系统的解转化为调和映射。
• 利用基流形 $T$ 和 $M$ 上的黎曼度量，构建一个自然附着于首阶PDE系统的广义场论。
• 通过最小二乘拉格朗日量提供变分表述，使得 $C^2$ 解最小化作用量，从而推广杨-米尔斯型动力学。

提出的方法

• 在喷从丛 $J^1(T,M)$ 上赋予一个类似Sasakian的度量 $S = h + \varphi + h^{-1} \ast \varphi$，该度量由 $T$ 上的黎曼度量 $h$ 和 $M$ 上的 $\varphi$ 导出。
• 利用水平协变导数和喷从丛 $J^1(T,M)$ 上的多时间喷射 $(H,G)$，构建广义洛伦兹-乌德里什特世界力定律，其分量 $H^{(i)}_{(\alpha)\beta}$ 和 $G^{(i)}_{(\alpha)\beta}$ 涉及克里斯托费尔符号和一个外部张量 $F^i$。
• 通过一个 $C^1$-无关的张量场 $X^{(i)}_{(\alpha)}$ 约束PDE系统 $(1.1)$，$x^i_\alpha = X^{(i)}_{(\alpha)}(t^\gamma, x^k)$，以确保可积性。
• 物理场 $F$ 的 $G$-势 $\nabla$ 被建模为喷从丛 $J^1(T,M)$ 上PDE系统 $(CPS')$ 的解，其分量为 $\partial \nabla^a_{b\beta}/\partial t^\alpha = \mathcal{F}^a_{b(\alpha)(\beta)}(t^\gamma, \nabla_\mu)$，由曲率和约束条件导出。
• 定义一个最小二乘拉格朗日量 $L = h^{\alpha\beta}h^{\mu\nu} \left( \partial \nabla^b_{a\alpha}/\partial t^\mu - \mathcal{F}^b_{a(\alpha)(\mu)} \right) \left( \partial \nabla^a_{b\beta}/\partial t^\nu - \mathcal{F}^a_{b(\beta)(\nu)} \right)$，其最小化产生调和映射。
• 通过 $T$ 上的度量 $h$ 和 $o(q)$ 上的卡廷形式，构建 $\Lambda^1 T^* \otimes \text{End}(E)$ 上的黎曼结构，实现在喷从空间上的纤维化黎曼几何。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对喷从丛上的首阶PDE系统进行几何构造，使其 $C^2$ 解成为调和映射？
• RQ2 类似Sasakian的度量 $S = h + \varphi + h^{-1} \ast \varphi$ 在将PDE解转化为变分问题极值中的作用是什么？
• RQ3 能否通过将PDE系统嵌入带有黎曼度量和最小二乘拉格朗日量的喷从丛中，构建一个广义场论？
• RQ4 $J^1(T,M)$ 上的最小二乘拉格朗日量如何推广杨-米尔斯拉格朗日量，并扩展调和联络的概念？
• RQ5 满足约束PDE系统 $(CPS')$ 并最小化最小二乘作用量的 $G$-势的物理与几何意义是什么？

主要发现

• PDE系统 $x^i_\alpha = X^{(i)}_{(\alpha)}(t^\gamma, x^k)$ 的所有 $C^2$ 解均关于喷从丛 $J^1(T,M)$ 上的度量 $S = h + \varphi + h^{-1} \ast \varphi$ 是调和映射，即它们最小化一个最小二乘变分问题。
• 广义洛伦兹-乌德里什特世界力定律被表述为 $J^1(T,M)$ 上的多时间喷射 $(H,G)$，其显式分量为 $H^{(i)}_{(\alpha)\beta} = -\frac{1}{2} H^\gamma_{\alpha\beta} x^i_\gamma$ 和 $G^{(i)}_{(\alpha)\beta} = \frac{1}{2} \gamma^i_{jk} x^j_\alpha x^k_\beta + h_{\alpha\beta} F^i$，其中 $F^i$ 涉及 $X^{(i)}_{(\alpha)}$ 的协变导数。
• $F$ 的 $G$-势 $\nabla$ 在受约束 $\partial \nabla_\alpha / \partial t^\beta = f_{\alpha\beta}(t^\gamma, \nabla_\mu)$ 时，被证明是 $J^1(T,M)$ 上的调和映射，从而导出等价的PDE系统 $(CPS')$。
• 定义在 $J^1(T,M)$ 上的最小二乘拉格朗日量 $L$ 比杨-米尔斯拉格朗日量更一般，其欧拉-拉格朗日方程被称为“杨-米尔斯方程的喷射延拓”。
• 满足PDE系统 $(CPS')$ 的解被称为“喷射-调和杨-米尔斯联络”，它们最小化作用量 $\mathcal{L} = L \sqrt{h}$，从而提供了变分表征。
• 该构造实现了通过多时间几何动力学对首阶PDE系统进行几何分类，适用于计算机模拟与进一步分析。