[论文解读] From Petrov-Einstein to Navier-Stokes

Vyacheslav Lysov, Strominger, Andrew|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用 38

一句话总结

本文通过证明在具有平坦诱导度规的类时超曲面 $Σ_c$ 上施加 Petrov 类型 I 条件，可将爱因斯坦引力在 $p+2$ 个维度与不可压缩流体动力学在 $p+1$ 个维度之间建立对偶关系，从而将爱因斯坦约束方程约化为非线性不可压缩纳维-斯托克斯方程。关键结果为：在大平均曲率极限下，$Σ_c$ 的外几何演化恰好等价于由纳维-斯托克斯动力学控制的流体，揭示了引力与流体流动之间的全息对偶性。

ABSTRACT

We consider a p+1-dimensional timelike hypersurface Σ_c embedded with a flat induced metric in a p+2-dimensional Einstein geometry. It is shown that imposing a Petrov type I condition on the geometry reduces the degrees of freedom in the extrinsic curvature of Σ_c to those of a fluid in Σ_c. Moreover, expanding around a limit in which the mean curvature of the embedding diverges, the leading-order Einstein constraint equations on Σ_c are shown to reduce to the non-linear incompressible Navier-Stokes equation for a fluid moving in Σ_c.

研究动机与目标

• 通过几何约束，在 $p+2$ 维爱因斯坦引力与 $p+1$ 维流体动力学之间建立直接对应关系。
• 证明在具有平坦诱导度规的类时超曲面 $Σ_c$ 上施加的 Petrov 类型 I 条件可将外曲率的自由度约化为流体的自由度。
• 证明在大平均曲率极限下，$Σ_c$ 上的主导阶爱因斯坦约束方程精确约化为速度场与压强场的不可压缩纳维-斯托克斯方程。
• 阐明 Petrov 类型 I 条件与先前在近视界引力研究中使用的正则性/无入流条件之间的等价性。
• 提供一种基于 Weyl 张量代数约束的、比基于视界正则性的边界条件更数学简洁的替代方案。

提出的方法

• 将具有平坦诱导度规的 $p+1$ 维类时超曲面 $\Sigma_c$ 嵌入 $p+2$ 维爱因斯坦时空。
• 在 $\Sigma_c$ 上沿时间平移方向对齐的零向量下，对 Weyl 张量施加 Petrov 类型 I 条件，从而将 Weyl 张量在特定分量上强制为零。
• 利用由 Petrov 条件导出的约束方程，将外曲率 $K_{ab}$ 的 $\frac{(p+1)(p+2)}{2}$ 个分量约化为 $p+2$ 个变量：能量密度、速度 $v^i$ 和压强 $P$，解释为流体变量。
• 通过缩放时间 $\tau = \lambda x^0$（$\lambda \to 0$）进行大平均曲率展开，以进入近视界极限。
• 将爱因斯坦约束方程按 $\lambda$ 的幂次展开，识别主导阶项为不可压缩纳维-斯托克斯系统。
• 将 $\mathrm{t}^{\tau(1)}_i = v_i/2$ 和 $\rho^{(2)} = P$ 识别为几何变量与流体速度和压强场之间的映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有平坦度规的类时超曲面上施加的 Petrov 类型 I 条件是否能在爱因斯坦理论的体中重现不可压缩纳维-斯托克斯方程？
• RQ2 Petrov 类型 I 条件是否在数学上等价于先前在近视界引力研究中使用的正则性与无入流条件？
• RQ3 在 $Σ_c$ 上爱因斯坦约束方程的大平均曲率极限是否产生 $Σ_c$ 上流体的非线性不可压缩纳维-斯托克斯方程？
• RQ4 能否通过类似 Petrov 类型 I 的几何代数条件将外曲率 $K_{ab}$ 的自由度约化为流体的自由度？
• RQ5 几何变量（如 $\mathrm{t}^{\tau(1)}_i$, $\rho^{(2)}$）与纳维-斯托克斯系统中流体变量 $v^i$, $P$ 之间的精确映射关系是什么？

主要发现

• Petrov 类型 I 条件将外曲率 $K_{ab}$ 的 $\frac{(p+1)(p+2)}{2}$ 个分量约化为 $p+2$ 个无约束变量：能量密度、速度 $v^i$ 和压强 $P$，这些被解释为流体自由度。
• 在大平均曲率极限（$\lambda \to 0$）下，$Σ_c$ 上的主导阶爱因斯坦约束方程精确约化为不可压缩纳维-斯托克斯方程：$\partial_k v^k = 0$ 与 $\partial_\tau v_i + v^k \partial_k v_i - \partial^2 v_i + \partial_i P = 0$，其中 $\tau$ 为时间，$i=1,\dots,p$ 为空间指标。
• 通过识别 $\mathrm{t}^{\tau(1)}_i = v_i/2$ 与 $\rho^{(2)} = P$，将约束方程中的几何变量映射为流体速度与压强场。
• 主导阶哈密顿约束方程固定了 $\mathrm{t}^{\tau(1)}_{\tau} = -2 \mathrm{t}^{\tau(1)}_i \mathrm{t}^{i(1)}_{\tau}$，这与流体能量-动量张量结构一致。
• 主导阶动量约束方程导出 $\partial_i v^i = 0$（不可压缩性）与纳维-斯托克斯演化方程，证实流体动力学可从引力中自然涌现。
• 采用固定平均曲率 $K$ 的替代边界条件，同样在主导阶产生相同的通用纳维-斯托克斯方程，证实了结果的鲁棒性。