[论文解读] From point processes to quantum optics and back

Rémi Bardenet, Alexandre Feller+7 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2022

Quantum Mechanics and Applications被引用 4

一句话总结

本文提出了一项跨学科综合研究，将概率论中的点过程与量子光学相联系，追溯了永久性点过程和行列式点过程（DPPs）的历史与理论基础，其根源可回溯至奥黛勒·马基在1970年代的研究。研究展示了量子场论——特别是相干态、产生/湮灭算符以及维克定理——如何自然地导出DPPs与永久性过程，并表明光子探测与电磁探测实验如何在物理系统中实现这些数学结构，关键结果揭示了反聚束现象与DPPs的关联，以及聚束现象与永久性过程的关联。

ABSTRACT

Some fifty years ago, in her seminal PhD thesis, Odile Macchi introduced permanental and determinantal point processes. Her initial motivation was to provide models for the set of detection times in fundamental bosonic or fermionic optical experiments, respectively. After two rather quiet decades, these point processes have quickly become standard examples of point processes with nontrivial, yet tractable, correlation structures. In particular, determinantal point processes have been since the 1990s a technical workhorse in random matrix theory and combinatorics, and a standard model for repulsive point patterns in machine learning and spatial statistics since the 2010s. Meanwhile, our ability to experimentally probe the correlations between detection events in bosonic and fermionic optics has progressed tremendously. In Part I of this survey, we provide a modern introduction to the concepts in Macchi's thesis and their physical motivation, under the combined eye of mathematicians, physicists, and signal processers. Our objective is to provide a shared basis of knowledge for later cross-disciplinary work on point processes in quantum optics, and reconnect with the physical roots of permanental and determinantal point processes.

研究动机与目标

• 重新确立点过程中的永久性与行列式点过程（DPPs）在量子光学中的物理起源，特别是通过马基在1970年代关于玻色子与费米子系统探测事件的论文。
• 通过提供点过程与量子场论的现代、易懂的数学框架介绍，统一数学、物理与信号处理领域的视角。
• 展示量子场论——通过相干态、场算符与维克定理——如何作为光子探测与电磁探测中的相关性结构，生成DPPs与永久性过程。
• 探讨广义点过程（如α-DPPs与帕费安过程）在物理上的可实现性等开放问题，及其与任何任何子与非高斯态的关联。
• 通过将理论形式体系与标志性实验（包括HBT效应与无相互作用的束缚费米子）相联系，为第二部分奠定基础。

提出的方法

• 使用量子场论的框架，特别是福克空间与二次量子化，来建模不可区分的玻色子与费米子系统。
• 应用产生与湮灭算符，从量子态（特别是相干态与高斯态）推导点过程的相关函数。
• 运用维克定理表明，高斯密度矩阵会导致行列式或永久相关函数，具体取决于统计规律。
• 通过一阶相干函数与探测器结构函数对光子探测与电磁探测进行建模，将其与二阶及更高阶相干函数联系起来。
• 证明单光子源中的反聚束现象对应于DPP，而热光则通过HBT效应导致永久性过程。
• 利用占据数表象与模式分解，将量子场可观测量与点过程相关函数相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在光子探测实验中，行列式与永久性点过程如何从玻色子与费米子的量子统计中产生？
• RQ2 相干态与高斯态在生成具有可处理相关结构的点过程方面起到什么作用？
• RQ3 能否通过具有非平凡统计或相互作用的量子场论，物理实现广义点过程（如α-DPPs）？
• RQ4 低能量子场论的对称性与普遍性如何与随机矩阵理论中观察到的点过程普遍性相关联？
• RQ5 哪些物理系统构成了帕费安与其它广义点过程的物理基础，它们如何扩展DPP框架？

主要发现

• 量子光学中的二阶相干函数直接决定了点过程的相关函数，其中反聚束（g(2)(0) < 1）对应于DPP，而聚束（g(2)(0) > 1）对应于永久性过程。
• 相干光（激光）中的光子探测事件产生泊松过程，而热光由于光子聚束效应导致永久性点过程，这一结论得到HBT实验的证实。
• 单光子源中的反聚束现象在物理上实现为DPP，其二阶相关函数ρ2(x1,x2) = 1 − |⟨ψ|a†(x1)a†(x2)a(x2)a(x1)|ψ⟩|²呈现出行列式结构。
• 高斯态的维克定理导致相关函数为行列式（费米子）或永久（玻色子），从而在数学上直接建立了量子场论与点过程之间的联系。
• DPP的核并非唯一；多个核可产生相同的DPP，而费米子框架可能有助于识别此类不变性，如奥尔尚斯基（2020）近期研究所示。
• α ∈ [−1,1]范围内的α-DPPs可通过费米子系统经极限过程构造，如Cunden等人（2019）所示，提示了广义点过程的物理实现可能性。