[论文解读] From Random Matrix Theory to Coding Theory: Volume of a Metric Ball in Unitary Group

Lu Wei, Renaud-Alexandre Pitaval+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文利用随机矩阵理论中的工具，特别是具有贝塞尔函数的托普利茨行列式和谢戈强极限定理，推导出单位酉群 U(n) 中度量球体的精确与渐近体积公式。主要贡献在于提出了一种快速收敛的渐近公式，使单位酉码的编码理论界（包括 Gilbert-Varshamov 界和哈明界）能够实现精确的解析计算，以及对酉空时码的分集和的闭式上界。

ABSTRACT

Volume estimates of metric balls in manifolds find diverse applications in information and coding theory. In this paper, some new results for the volume of a metric ball in unitary group are derived via various tools from random matrix theory. The first result is an integral representation of the exact volume, which involves a Toeplitz determinant of Bessel functions. The connection to matrix-variate hypergeometric functions and Szegő's strong limit theorem lead independently from the finite size formula to an asymptotic one. The convergence of the limiting formula is exceptionally fast due to an underlying mock-Gaussian behavior. The proposed volume estimate enables simple but accurate analytical evaluation of coding-theoretic bounds of unitary codes. In particular, the Gilbert-Varshamov lower bound and the Hamming upper bound on cardinality as well as the resulting bounds on code rate and minimum distance are derived. Moreover, bounds on the scaling law of code rate are found. Lastly, a closed-form bound on diversity sum relevant to unitary space-time codes is obtained, which was only computed numerically in literature.

研究动机与目标

• 推导单位酉群 U(n) 中以弦距为度量的度量球体的精确与渐近体积公式。
• 通过引入随机矩阵理论的解析方法，克服以往工作中对数值积分的依赖。
• 实现对酉码编码理论界（如 Gilbert-Varshamov 界和哈明界）的精确解析评估。
• 建立酉空时码分集和的闭式上界，此前该界仅能通过数值方法计算。
• 研究渐近体积公式的收敛行为，并通过发现的类高斯特性解释其快速收敛的原因。

提出的方法

• 推导出一个涉及具有贝塞尔函数元素的托普利茨行列式的积分形式的精确体积公式。
• 利用托普利茨行列式与矩阵变量超几何函数之间的联系，推导出渐近公式。
• 应用托普利茨行列式的谢戈强极限定理，独立推导出相同的渐近体积公式。
• 利用梅杰 G-函数与超几何函数恒等式，计算体积计算中出现的积分。
• 利用哈 measure 的不变性及酉矩阵的特征值分解，将体积表示为特征角分布的形式。
• 应用梅杰 G-函数的平移与反演参数性质，简化并求解所得积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用随机矩阵理论工具，将 U(n) 中度量球体的体积表示为闭式表达式或快速收敛的渐近公式？
• RQ2 该渐近体积公式的收敛速率如何？其快速收敛的数学本质原因是什么？
• RQ3 所推导的体积公式如何用于解析计算酉码的吉尔伯特-瓦尔沙莫夫界与哈明界等基本编码理论界？
• RQ4 能否通过解析方法推导出酉空时码分集和的闭式上界，从而避免数值积分？
• RQ5 酉码码率的标度律是什么？如何利用渐近体积公式对其进行界定？

主要发现

• U(n) 中度量球体的精确体积被表达为一个包含具有贝塞尔函数元素的托普利茨行列式的积分形式。
• 对于 n=2 的情形，利用梅杰 G-函数与超几何函数恒等式，推导出体积的闭式表达式。
• 由于在特征值分布中发现了类高斯行为，渐近体积公式呈现超指数级快速收敛。
• 对于 n=3 的维度，该渐近公式已具有极高的精度，其精度与速度显著优于数值积分方法。
• 利用渐近体积公式，推导出对码字基数的吉尔伯特-瓦尔沙莫夫界与哈明界的解析表达式。
• 成功获得酉空时码分集和的闭式上界，解决了此前必须依赖数值计算的局限性。