[论文解读] From repeated to continuous quantum interactions

Stéphane Attal, Yan Pautrat|ArXiv.org|Nov 4, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过小系统与辅助系统链之间离散重复量子相互作用的连续时间极限，严格推导出量子朗之万方程的哈密顿形式。通过在相互作用哈密顿量中引入三种不同的时间尺度——1阶、√h阶和h阶——表明极限演化由量子随机微分方程控制，从而在无需任意假设的情况下，为量子光学和连续测量中使用的标准量子朗之万方程提供了理论依据。

ABSTRACT

We consider the general physical situation of a quantum system $\H_0$ interacting with a chain of exterior systems $\bigotimes_\N \H$, one after the other, during a small interval of time $h$ and following some Hamiltonian $H$ on $\H_0 \otimes \H$. We discuss the passage to the limit to continuous interactions ($h o 0$) in a setup which allows to compute the limit of this Hamiltonian evolution in a single state space: a continuous field of exterior systems $\otimes_{\R} \H$. Surprisingly, the passage to the limit shows the necessity for 3 different time scales in $H$. The limit evolution equation is shown to spontaneously produce quantum noises terms: we obtain a quantum Langevin equation as limit of the Hamiltonian evolution. For the very first time, these quantum Langevin equations are obtained as the effective limit from repeated to continuous interactions and not only as a model. These results justify the usual quantum Langevin equations considered in continual quantum measurement or in quantum optics. We show that the three time scales correspond to the normal regime, the weak coupling limit and the low density limit. Our approach allows to consider these two physical limits altogether for the first time. Their combination produces an effective Hamiltonian on the small system, which had never been described before. We apply these results to give an Hamiltonian description of the von Neumann measurement. We also consider the approximation of continuous time quantum master equations by discrete time ones. In particular we show how any Lindblad generator is obtained as the limit of completely positive maps.

研究动机与目标

• 严格推导量子朗之万方程作为离散重复相互作用的连续极限。
• 通过在相互作用哈密顿量中识别出三种不同的时间尺度，将弱耦合极限与低密度极限统一于同一框架之中。
• 为量子朗之万方程提供哈密顿基础，而非将其视为唯象模型。
• 展示Lindblad生成元如何作为离散完全正映射的极限出现，从而将开放量子系统与基本动力学联系起来。
• 将该框架应用于冯·诺依曼测量模型，提供量子测量过程的哈密顿描述。

提出的方法

• 在长度为h的时间区间内，使用固定的哈密顿量H对小系统与离散辅助系统链之间的相互作用进行建模。
• 将离散链嵌入ℝ⁺上的连续福克场，使得可在单一希尔伯特空间中取h → 0的极限。
• 在哈密顿量中引入三种不同的时间尺度：一个为1阶，一个为√h阶，一个为h阶，以确保极限非平凡。
• 利用扩展系统的幺正演化定义离散动力学，然后证明海森堡演化的收敛性，其极限为量子随机微分方程的解。
• 应用量子随机微积分（Hudson-Parthasarathy）将极限演化描述为量子朗之万方程。
• 建立离散演化映射收敛至Lindblad生成元的条件，表明任何Lindbladian均可作为此类极限出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从重复相互作用的基本哈密顿动力学推导出量子朗之万方程？
• RQ2 为获得非平凡的连续极限，相互作用哈密顿量需要满足何种重整化条件？
• RQ3 弱耦合极限与低密度极限如何在统一框架中同时出现？
• RQ4 标准Lindblad主方程能否作为离散、幺正、完全正演化极限获得？
• RQ5 在此重复相互作用框架下，冯·诺依曼测量过程的哈密顿描述是什么？

主要发现

• 连续极限的过渡要求在相互作用哈密顿量中存在三种不同的时间尺度：1阶、√h阶和h阶。
• 极限演化由量子随机微分方程（即量子朗之万方程）描述，该方程自然地从哈密顿动力学中涌现，无需任意假设。
• 所获得的量子朗之万方程即为量子光学和连续测量中使用的标准形式，例如自发辐射的Wigner-Weisskopf模型。
• 当相互作用矩阵满足适当的标度条件时，任何Lindblad生成元均可作为离散完全正映射的极限出现。
• 离散演化向连续演化的收敛性在强算子拓扑下成立，且蕴含海森堡演化的弱收敛性。
• 该框架为冯·诺依曼测量过程提供了哈密顿推导，表明连续观测可从重复相互作用中自然产生。