[论文解读] From Subfactors to Categories and Topology I. Frobenius algebras in and Morita equivalence of tensor categories

Michael Mueger|ArXiv.org|Nov 19, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 54被引用 8

一句话总结

本文通過在張量分類中引入張量分類中的弗羅貝尼烏斯代數，並證明每個弗羅貝尼烏斯代數都來自於伴隨函子的雙分類，建立了一個將子因子理論與張量分類聯繫起來的範疇框架。主要貢獻在於定義了弱單一路徑莫代爾等價，該等價意味著量子雙重與狀態和不變量的等價，從而統一了子因子理論與拓撲量子場論。

ABSTRACT

We consider certain categorical structures that are implicit in subfactor theory. Making the connection between subfactor theory (at finite index) and category theory explicit sheds light on both subjects. Furthermore, it allows various generalizations of these structures, e.g. to arbitrary ground fields, and the proof of new results about topological invariants in three dimensions. The central notion is that of a Frobenius algebra in a tensor category A, which reduces to the classical notion if A=F-Vect, where F is a field. An object X in A with two-sided dual X^ gives rise to a Frobenius algebra in A, and under weak additional conditions we prove a converse: There exists a bicategory E with Obj(E)={X,Y} such that End_E(X,X) is equivalent to A and such that there are J: Y->X, J^: X->Y producing the given Frobenius algebra. Many properties (additivity, sphericity, semisimplicity,...) of A carry over to E. We define weak monoidal Morita equivalence (wMe) of tensor categories and establish a correspondence between Frobenius algebras in A and tensor categories B wMe A. While considerably weaker than equivalence of tensor categories, weak monoidal Morita equivalence of A and B implies (for A,B semisimple and spherical or *-categories) that A and B have the same dimension, braided equivalent `center' (quantum double) and define the same state sum invariants of closed oriented 3-manifolds as defined by Barrett and Westbury. If H is a finite dimensional semisimple and cosemisimple Hopf algebra then H-mod and H^-mod are wMe. The present formalism permits a fairly complete analysis of the quantum double of a semisimple spherical category, which is the subject of the companion paper math.CT/0111205.

研究动机与目标

• 透過張量分類形式化有限指數子因子理論背後的範疇結構。
• 定義並研究任意張量分類中的弗羅貝尼烏斯代數，推廣經典的域上弗羅貝尼烏斯代數。
• 建立張量分類 A 中的弗羅貝尼烏斯代數與弱單一路徑莫代爾等價分類 B ≈ A 之間的對應關係。
• 證明弱單一路徑莫代爾等價意味著三流形中量子雙重與狀態和不變量的等價。
• 為理解低維拓撲學中的模不變量與拓撲不變量提供範疇基礎。

提出的方法

• 透過相容性條件 (m ⊗ id) ◦ (id ⊗ Δ) = Δ ◦ m = (id ⊗ m) ◦ (Δ ⊗ id) 在張量分類 A 中引入弗羅貝尼烏斯代數。
• 構造一個雙分類 E，其包含兩個物件 A 和 B，使得 End_E(A) ≃ A，且 A 與 B 之間的伴隨關係實現給定的弗羅貝尼烏斯代數。
• 將弱單一路徑莫代爾等價 A ≈ B 定義為在 A 中存在一個弗羅貝尼烏斯代數 Q，使得 B ≃ Q-mod-Q。
• 證明弱單一路徑莫代爾等價保持關鍵不變量：量子雙重（中心）作為 braided tensor categories 是等價的。
• 利用剛性分類與對偶理論證明剛性 A-代數等價於 A 中的弗羅貝尼烏斯代數。
• 利用 Ocnceanu 的參群與 Longo 的 Q-system 研究結果，來激發範疇構造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用張量分類中的弗羅貝尼烏斯代數重構如伴隨函子雙分類之類的範疇結構？
• RQ2 弱單一路徑莫代爾等價的範疇特徵為何？其與子因子理論有何關聯？
• RQ3 在何種條件下，弱單一路徑莫代爾等價會導致量子雙重與狀態和不變量的等價？
• RQ4 是否能完全以該形式化描述半單球形分類的中心？
• RQ5 雙分類 E 的構造與文獻中既有的構造（如 Yamagami 或 Ostrik 的）有何關係？

主要发现

• 張量分類 A 中的每個弗羅貝尼烏斯代數都來自於一個包含兩個物件 A 和 B 的雙分類 E，其中 A 和 B 由伴隨函子連接。
• 弱單一路徑莫代爾等價 A ≈ B 等價於在 A 中存在一個弗羅貝尼烏斯代數 Q，使得 B ≃ Q-mod-Q。
• 若 A 和 B 是弱單一路徑莫代爾等價的，則它們的量子雙重（中心）作為 braided tensor categories 是等價的。
• 對於半單球形分類，弱單一路徑莫代爾等價意味著 A 和 B 對封閉定向三流形產生相同的狀態和不變量。
• 該構造恢復了已知結果，例如當 H 為有限維半單且余半單的霍普夫代數時，H-mod ≈ Ĥ-mod。
• 該形式化提供了對半單球形分類中心的完整描述，如附錄論文所發展。