[论文解读] From Subfactors to Categories and Topology II. The quantum double of tensor categories and subfactors

Michael Mueger|ArXiv.org|Nov 19, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文将量子双代数构造从有限维霍普夫代数推广到代数闭域上的任意半单球面对称张量范畴。证明了中心 ${\cal Z}({\cal C})$ 是一个模形式范畴，其维数为 $(\dim{\cal C})^2$，建立了 ${\cal Z}({\cal C})$ 与 ${\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$ 之间的弱莫代等价，并验证了关于 ${\cal Z}({\cal C})$ 中单个对象数量的盖尔范德–卡赞丹猜想，该猜想与环面 TQFT 的态空间维数一致。

ABSTRACT

We are concerned with the center (=quantum double) of tensor categories and prove generalizations of several results proven previously for quantum doubles of Hopf algebras. We consider F-linear tensor categories C with simple unit and finitely many isomorphism classes of simple objects. We assume that C is either a *-category (i.e. there is a positive *-operation on the morphisms) or semisimple and spherical over an algebraically closed field F. In the latter case we assume that dim C=sum_i d(X_i)^2 is non-zero, where the summation runs over the isomorphism classes of simple objects. We prove: (i) Z(C) is a semisimple spherical (or *-) category. (ii) Z(C) is weakly monoidally Morita equivalent (in the sense of math.CT/0111204) to C X C^op. This implies dim Z(C)=(dim C)^2. (iii) We analyze the simple objects of Z(C) in terms of certain finite dimensional algebras, of which Ocneanu's tube algebra is the smallest. We prove the conjecture of Gelfand and Kazhdan according to which the number of simple objects of Z(C) coincides with the dimension of the state space H_{S^1 imes S^1} of the torus in the triangulation TQFT built from C. (iv) We prove that Z(C) is modular and we compute the Gauss sums Delta_+/-(Z(C))=sum_i theta(X_i)^{+/- 1}d(X_i)^2=dim C. (v) Finally, if C is already modular then Z(C)\simeq C X C~, where C~ is the tensor category C with the braiding c~_{X,Y}=c_{Y,X}^{-1}.

研究动机与目标

• 将量子双代数构造从霍普夫代数推广至一般的半单球面对称张量范畴。
• 证明此类范畴的中心 ${\cal Z}({\cal C})$ 是模形式范畴。
• 建立 ${\cal Z}({\cal C})$ 与 ${\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$ 之间的弱莫代等价，从而推出 $\dim{\cal Z}({\cal C}) = (\dim{\cal C})^2$。
• 验证盖尔范德–卡赞丹猜想：${\cal Z}({\cal C})$ 中单个对象的数量等于由 ${\cal C}$ 构造的环面 TQFT 态空间的维数。
• 计算 Gauss 和 $\Delta_{\pm}({\cal Z}({\cal C}))$，并证明其等于 $\dim{\cal C}$。

提出的方法

• 将张量范畴 ${\cal C}$ 的中心 ${\cal Z}({\cal C})$ 定义为满足德林费 尔德中心公理的自然同构的辫子范畴。
• 利用映射 ${\mathfrak{S}}$ 在 $\bigoplus_{i,j} \mathrm{Hom}_{\cal C}(X_i X_j, X_j X_i)$ 上的向量空间同构，表示 ${\cal Z}({\cal C})$ 的 $S$-矩阵。
• 利用球面对称性与对偶性，证明 ${\mathfrak{S}}$ 是一个四阶同构，并稳定端自同态代数的中心。
• 通过 ${\cal Z}({\cal C})$ 中单个对象 $(X,e_X)$ 的 $d(X)^{-1} z_{(X,e_X)}$ 构造 $S$-矩阵特征向量的一组基。
• 应用对偶方程与迹性质，通过映射 ${\mathfrak{S}}$ 计算 $S$-矩阵的矩阵元。
• 利用 Gauss 和公式 $\Delta_{\pm}({\cal Z}({\cal C})) = \sum_i \theta(X_i)^{\pm 1} d(X_i)^2$，并证明其等于 $\dim{\cal C}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 ${\cal C}$ 是代数闭域上有限维、非退化的半单球面对称张量范畴时，其中心 ${\cal Z}({\cal C})$ 是否为模形式范畴？
• RQ2 ${\cal Z}({\cal C})$ 的维数是否满足 $\dim{\cal Z}({\cal C}) = (\dim{\cal C})^2$？
• RQ3 ${\cal Z}({\cal C})$ 中单个对象的数量是否等于由 ${\cal C}$ 构造的 TQFT 中环面态空间的维数？
• RQ4 Gauss 和 $\Delta_{\pm}({\cal Z}({\cal C}))$ 是否等于 $\dim{\cal C}$？
• RQ5 ${\cal Z}({\cal C})$ 是否与 ${\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$ 弱莫代等价？

主要发现

• 当 ${\cal C}$ 是代数闭域上有限维、非退化的半单球面对称张量范畴时，其中心 ${\cal Z}({\cal C})$ 是一个模形式范畴。
• ${\cal Z}({\cal C})$ 的维数恰好为 $(\dim{\cal C})^2$，该结论通过其与 ${\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$ 的弱莫代等价性得到证明。
• ${\cal Z}({\cal C})$ 的 Gauss 和满足 $\Delta_{+}({\cal Z}({\cal C})) = \Delta_{-}({\cal Z}({\cal C})) = \dim{\cal C}$。
• ${\cal Z}({\cal C})$ 中单个对象的数量等于由 ${\cal C}$ 构造的三角剖分 TQFT 中环面态空间的维数，从而证实了盖尔范德–卡赞丹猜想。
• 若 ${\cal C}$ 本身已是模形式范畴，则 ${\cal Z}({\cal C}) \simeq_{\mathrm{br}} {\cal C} \otimes \tilde{{\cal C}} \simeq_{\mathrm{br}} {\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$，其中 $\tilde{{\cal C}}$ 是 ${\cal C}$ 的反向辫子结构。