[论文解读] From the Equations of Motion to the Canonical Commutation Relations

Elisa Ercolessi, G. Marmo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 199被引用 11

一句话总结

本文建立了一套统一的几何框架，将变分法中的经典逆问题与量子对易关系联系起来，表明通过Weyl-Wigner相空间形式，不同的动力学结构可产生等价的运动方程，但具有不同的对易关系。关键贡献在于证明了量子对易关系并非由运动方程唯一确定，通过有限与无限维中的辛结构与双哈密顿结构，推广了Wigner 1950年提出的问题。

ABSTRACT

The problem of whether or not the equations of motion of a quantum system determine the commutation relations was posed by E.P.Wigner in 1950. A similar problem (known as "The Inverse Problem in the Calculus of Variations") was posed in a classical setting as back as in 1887 by H.Helmoltz and has received great attention also in recent times. The aim of this paper is to discuss how these two apparently unrelated problems can actually be discussed in a somewhat unified framework. After reviewing briefly the Inverse Problem and the existence of alternative structures for classical systems, we discuss the geometric structures that are intrinsically present in Quantum Mechanics, starting from finite-level systems and then moving to a more general setting by using the Weyl-Wigner approach, showing how this approach can accomodate in an almost natural way the existence of alternative structures in Quantum Mechanics as well.

研究动机与目标

• 解决E.P. Wigner 1950年提出的关于运动方程是否唯一决定量子对易关系的问题。
• 利用几何与辛方法，将变分法中的经典逆问题与量子力学中的替代结构统一起来。
• 将Weyl-Wigner方法扩展至无限维系统，并证明其与替代量子描述的相容性。
• 通过在相空间中引入修改的线性与辛结构，证明经典与量子情形下存在非等价的哈密顿与拉格朗日描述。
• 探讨线性结构与递推算子在定义替代量子动力学及其经典极限中的作用。

提出的方法

• 利用Weyl-Wigner相空间形式化，将量子算符映射为相空间上的c-数函数，从而实现与经典力学的比较。
• 应用Moyal乘积与Moyal括号，定义相空间中的量子动力学，推广泊松括号结构。
• 引入共形泊松张量与形变Moyal乘积，以建模与相同运动方程相容的替代量子动力学。
• 采用GNS构造与${ m C}^*$-代数几何，从相空间数据中恢复希尔伯特空间结构。
• 利用辛傅里叶变换与$Sp(2,bR)$下的等变性，确保相空间中不同线性结构之间的一致性。
• 分析递推算子与Nijenhuis张量，以分类可积系统与替代哈密顿描述。

实验结果

研究问题

• RQ1 在量子力学中，相同的运动方程是否可能对应不同的正则对易关系？
• RQ2 在经典系统中，替代的拉格朗日与哈密顿描述如何产生，其量子对应物是什么？
• RQ3 在多大程度上，量子对易关系由运动方程决定，线性结构起到何种作用？
• RQ4 Weyl-Wigner形式化如何容纳具有相同运动方程但非等价的量子动力学？
• RQ5 辛群与递推算子在生成替代动力学结构中的几何角色是什么？

主要发现

• 运动方程并不唯一决定量子力学中的正则对易关系，证实存在多个与相同动力学相容的量子理论。
• 不同的相空间线性结构导致非等价的Moyal括号与形变对易关系，从而产生替代的量子描述。
• 辛傅里叶变换在$Sp(2,bR)$下具有等变性，确保了不同相空间参数化之间的一致性。
• 双哈密顿结构与递推算子为生成具有相同运动方程的替代经典与量子动力学提供了系统性方法。
• Weyl-Wigner方法自然容纳了替代的量子结构，推广了标准的量子化程序。
• 共形泊松张量与形变Moyal乘积使得满足KMS条件的替代量子理论能在相空间中形式化，并在极限下退化为经典动力学。