[论文解读] From the free boundary condition for Hele-Shaw to a fractional parabolic equation

Héctor A. Chang‐Lara, Nestor Guillen|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文通过证明在平坦性条件下，解的赫尔戈夫变换满足一个非线性积分微分方程，该方程可线性化为具有有界可测系数的非局部抛物方程，建立了单相Hele-Shaw问题中自由边界与分数阶抛物方程之间的联系。关键结果是，在平坦点附近，自由边界在空间和时间上具有统一的$C^{1,\beta}$正则性估计，该结果通过非局部抛物方程的紧致性与正则性理论证明。

ABSTRACT

We propose a method to determine the smoothness of sufficiently flat solutions of one phase Hele-Shaw problems. The novelty is the observation that under a flatness assumption the free boundary --represented by the hodograph transform of the solution- solves a nonlinear integro-differential equation. This nonlinear equation is linearized to a (nonlocal) parabolic equation with bounded measurable coefficients, for which regularity estimates are available. This fact is used to prove a regularity result for the free boundary of a weak solution near points where the solution looks sufficiently flat. More concretely, flat means that in a parabolic neighborhood of the point the solution lies between the solutions corresponding to two parallel flat fronts a small distance apart --a condition that only depends on the the local behavior of the solution. In a neighborhood of such a point, the free boundary is given by the graph of a function whose spatial gradient enjoys a universal Hölder estimate in both space and time.

研究动机与目标

• 建立单相Hele-Shaw问题中自由边界与非局部抛物方程之间的联系。
• 在解在某点附近足够平坦时，证明自由边界的霍尔德正则性。
• 提出一种将自由边界条件线性化为具有有界可测系数的非局部抛物方程的方法。
• 应用非局部方程的正则性理论，推导自由边界的$C^{1,\beta}$估计。
• 证明解的平坦性可独立于全局结构而蕴含自由边界的正则性。

提出的方法

• 使用解的赫尔戈夫变换将自由边界表示为图像，将自由边界条件转化为非线性积分微分方程。
• 在平坦性假设下，非线性方程被线性化为涉及分数阶拉普拉斯算子$(-\triangle)^{1/2}$的抛物方程，其时间依赖的有界可测系数属于$[\lambda, \Lambda]$。
• 证明线性化方程满足已知的具有有界可测系数的非局部抛物方程的霍尔德正则性估计。
• 在解位于两个平坦前导面之间的抛物邻域中，对解应用紧致性与爆破论证。
• 使用共形变换（Kelvin变换与指数型变换）估计赫尔戈夫变换在扰动下的行为，通过$\varepsilon^\alpha N$的小性控制误差项。
• 证明依赖于粘性解理论与紧致性，提取出一个解为分数阶热方程的极限，从而推出正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过与非局部抛物方程的联系，推导出Hele-Shaw问题中自由边界的正则性？
• RQ2 当解在某点附近足够平坦时，自由边界会呈现出何种正则性特征？
• RQ3 自由边界条件的线性化如何导致具有有界可测系数的非局部抛物方程？
• RQ4 解梯度的时间不规则性在多大程度上影响自由边界的正则性？
• RQ5 分数阶热方程能否作为自由边界在平坦点附近爆破的模型？

主要发现

• 存在统一的常数$\varepsilon_0, \alpha \in (0,1)$与$C > 0$，使得若解在$\varepsilon \in (0,\varepsilon_0)$范围内介于两个平坦前导面之间，则自由边界为$C^{1,\alpha}$正则。
• 自由边界的空间梯度在空间与时间上均具有统一的霍尔德估计，且在$B_{1/2}^{n-1} \times (-1/2, 0]$内一致有界于$C$。
• 赫尔戈夫函数的线性化方程是非局部抛物方程，具有有界可测系数，具体涉及$(-\Delta)^{1/2}$与属于$[\lambda, \Lambda]$的时间依赖系数。
• 线性化中的误差随$\varepsilon \to 0$而消失，极限方程为分数阶热方程$\partial_t \bar{u} + a(-\Delta)^{1/2}\bar{u} = 0$。
• 自由边界的正则性由解的平坦性控制，而非依赖于全局变分结构或光滑性假设。
• 即使解梯度的时间导数不规则，只要平坦性条件成立，该方法依然适用。