[论文解读] From variable density sampling to continuous sampling using Markov chains

Nicolas Chauffert, Philippe Ciuciu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2013

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文提出一种基于马尔可夫链的连续采样框架，用于磁共振成像（MRI）中的压缩感知，以轨迹约束的随机游走替代启发式变密度采样，确保硬件可行性。通过利用具有可控跳跃概率的马尔可夫转移，该方法在5倍加速下实现了高质量图像重建，峰值信噪比（PSNR）高达34.2 dB，表明连续采样可在遵守梯度爬升率约束的同时维持压缩感知的理论保证。

ABSTRACT

Since its discovery over the last decade, Compressed Sensing (CS) has been successfully applied to Magnetic Reso- nance Imaging (MRI). It has been shown to be a powerful way to reduce scanning time without sacrificing image quality. MR images are actually strongly compressible in a wavelet basis, the latter being largely incoherent with the k-space or spatial Fourier domain where acquisition is performed. Nevertheless, since its first application to MRI [1], the theoretical justification of actual k-space sampling strategies is questionable. Indeed, the vast majority of k-space sampling distributions have been heuris- tically designed (e.g., variable density) or driven by experimental feasibility considerations (e.g., random radial or spiral sampling to achieve smoothness k-space trajectory). In this paper, we try to reconcile very recent CS results with the MRI specificities (mag- netic field gradients) by enforcing the measurements, i.e. samples of k-space, to fit continuous trajectories. To this end, we propose random walk continuous sampling based on Markov chains and we compare the reconstruction quality of this scheme to the state- of-the art.

研究动机与目标

• 弥合理论压缩感知（CS）采样与实际MRI约束之间的差距，其中独立采样违反了梯度连续性要求。
• 开发一种与MRI物理限制兼容的连续采样策略，如梯度爬升率和光滑轨迹要求。
• 建立基于连续、马尔可夫采样轨迹的压缩感知恢复理论保证。
• 在现有依赖一维或二维随机性的连续采样方法基础上，将其扩展至完整的二维/三维k空间，引入多维随机性。
• 证明通过马尔可夫链实现的连续采样可达到与i.i.d.变密度采样相当的重建质量，同时可在真实MRI扫描仪上实现。

提出的方法

• 在k空间网格上使用时间齐次马尔可夫链，通过转移矩阵P(α)生成连续采样轨迹。
• 定义平稳分布π以匹配所需的变密度采样模式，确保与小波稀疏性的统计不相干性。
• 引入跳跃概率α以平衡轨迹连续性与k空间覆盖范围，其中α控制跳转至新位置的频率。
• 构建转移矩阵P(α)，使其满足细致平衡条件并确保链的良好混合性，谱间隙ε(P(α)) > α。
• 应用马尔可夫链的集中不等式，限制采样矩阵与单位矩阵的偏差，从而获得理论恢复保证。
• 通过Douglas-Rachford算法进行ℓ₁-最小化重建，保留20%的k空间采样点（加速因子r=5）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用马尔可夫链设计满足MRI梯度约束的连续采样轨迹，同时保持压缩感知恢复的理论保证？
• RQ2 跳跃概率α的选择如何影响马尔可夫采样中轨迹连续性与k空间覆盖之间的权衡？
• RQ3 基于马尔可夫链的采样在多大程度上可实现与i.i.d.变密度采样相当的重建质量？
• RQ4 马尔可夫链的谱间隙对重建性能有何影响？其在问题维度增加时如何变化？
• RQ5 与一阶链相比，二阶马尔可夫链是否能进一步提升轨迹规则性与重建质量？

主要发现

• 所提出的基于马尔可夫链的采样方案在5倍加速下实现了33.4 dB的平均PSNR，与i.i.d.变密度采样相当。
• 当α = 0.01时，某一特定马尔可夫链实现的PSNR达到34.2 dB，表明个别实现可优于平均性能。
• 随着α减小，重建质量下降，这是由于连续段的空间受限所致，表明连续性与覆盖范围之间存在权衡。
• 马尔可夫链的谱间隙对重建质量有显著影响，尽管其随问题维度增加而减弱，构成理论限制。
• 初步结果表明，二阶马尔可夫链在轨迹规则性与重建性能方面表现更优，提示可能获得更强的理论边界。
• 尽管理论边界为O(s²)，但实验结果表明重建仍具可靠性，表明理论与实践之间存在差距，值得进一步研究。