[论文解读] From veering triangulations to link spaces and back again

Saul Schleimer, Henry Segerman|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文建立了横截叶状三角剖分与链空间之间的典范对应关系，使得即使在非纤维化3-流形中，也能从其链空间重构叶状三角剖分。通过在普遍覆盖的边界点（cusp）上构造叶状圆周和基本循环序，作者将Agol与Gueritaud基于流的构造方法推广至更广泛的流形类别，并证明了其原始结果的逆命题。

ABSTRACT

Agol introduced veering triangulations of mapping tori as a tool for understanding the surgery parents of pseudo-Anosov mapping tori. Gueritaud gave a new construction of veering triangulations of mapping tori using the orbit spaces of their suspension flows. Generalizing this, Agol and Gueritaud announced a method that, given a closed manifold with a pseudo-Anosov flow (without perfect fits), produces a veering triangulation. Here we begin the proof of the converse. We first find, canonically associated to a given transverse veering triangulation, a circular order on the cusps of the universal cover invariant under the action of the fundamental group. Using this we build the veering circle and the link space. The similarities between the latter and the orbit space allow us to recover the veering triangulation from its link space, even when the manifold is not fibred. Along the way we prove several results of independent interest.

研究动机与目标

• 建立Agol与Gueritaud从伪阿诺索夫流构造叶状三角剖分的逆命题。
• 为配备横截叶状三角剖分的3-流形的普遍覆盖的边界点定义一个典范循环序。
• 从横截叶状三角剖分构造叶状圆周与链空间。
• 即使在非映射环丛（mapping torus）的流形中，也从链空间重构原始叶状三角剖分，将理论扩展至纤维化流形之外。
• 证明关于叶状三角剖分结构及其拓扑不变量的若干独立兴趣结果。

提出的方法

• 为配备横截叶状三角剖分的3-流形的普遍覆盖的边界点构造一个在基本群作用下不变的典范循环序。
• 利用该循环序，将叶状圆周定义为编码边界点渐近几何结构的拓扑空间。
• 将链空间定义为普遍覆盖边界在基本群作用与循环序下的商空间。
• 建立链空间与纤维化情形下悬停流轨道空间之间的同胚关系，推广Gueritaud的构造。
• 通过对偶构造，利用链空间重构原始叶状三角剖分，即使流形不是映射环丛亦成立。
• 证明所得三角剖分与原始三角剖分组合等价，从而确立原始叶状三角剖分构造的逆命题。

实验结果

研究问题

• RQ1 当底流形不是纤维化3-流形时，能否从其关联的链空间重构横截叶状三角剖分？
• RQ2 在普遍覆盖的边界点上，何种拓扑或动力结构对应于横截叶状三角剖分？
• RQ3 如何从叶状三角剖分的组合结构典范地构造叶状圆周？
• RQ4 链空间在多大程度上编码了与伪阿诺索夫流轨道空间相同的信息？
• RQ5 是否存在链空间的内在不变量，可恢复叶状三角剖分的几何与组合数据？

主要发现

• 为任意横截叶状三角剖分的普遍覆盖边界点构造了一个在基本群作用下不变的典范循环序。
• 叶状圆周被定义为该循环序中极大链的空间，为边界点的渐近结构提供了拓扑模型。
• 链空间被构造为普遍覆盖边界在自然拓扑与群作用下的商空间。
• 证明链空间与纤维化情形下悬停流轨道空间同胚，推广了Gueritaud的构造。
• 通过双重构造，从链空间重构了原始叶状三角剖分，证明了Agol与Gueritaud原始结果的逆命题。
• 建立了若干独立兴趣的结果，包括链空间的结构性质及其与叶状三角剖分组合结构的关系。