[论文解读] From Wigner-Yanase-Dyson conjecture to Carlen-Frank-Lieb conjecture (New title)

Haonan Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2018

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文證實了關於正定矩陣與任意可逆矩陣 K 的跡函數聯合凸性/凹性的 Carlen-Frank-Lieb 猜想。透過改進的變分法，確立了函數 $\Psi_{p,q,s}(A,B) = \text{Tr}\left( B^{q/2} K^* A^p K B^{q/2} \right)^s$ 在所有參數範圍 $(p, q, s)$ 中聯合凸或凹的完整區間，解決了量子資訊與數學物理領域長期存在的猜想，包括量子通道下 $\alpha$-$z$ Rényi 相對熵的單調性。

ABSTRACT

In this paper we study the joint convexity/concavity of the trace functions \[ Ψ_{p,q,s}(A,B)= ext{Tr}(B^{\frac{q}{2}}K^*A^{p}KB^{\frac{q}{2}})^s,~~p,q,s\in \mathbb{R}, \] where $A$ and $B$ are positive definite matrices and $K$ is any fixed invertible matrix. We will give full range of $(p,q,s)\in\mathbb{R}^3$ for $Ψ_{p,q,s}$ to be jointly convex/concave for all $K$. As a consequence, we confirm a conjecture of Carlen, Frank and Lieb. In particular, we confirm a weaker conjecture of Audenaert and Datta and obtain the full range of $(α,z)$ for $α$-$z$ Rényi relative entropies to be monotone under completely positive trace preserving maps. We also give simpler proofs of many known results, including the concavity of $Ψ_{p,0,1/p}$ for $0

研究动机与目标

• 為所有可逆 K 及正定 A、B，解決 Carlen-Frank-Lieb 對跡函數 $\Psi_{p,q,s}(A,B) = \text{Tr}\left( B^{q/2} K^* A^p K B^{q/2} \right)^s$ 之聯合凸性/凹性的猜測。
• 確立所有參數範圍 $(p,q,s) \in \mathbb{R}^3$，使得 $\Psi_{p,q,s}$ 為聯合凸或凹。
• 確認 Audenaert 與 Datta 提出的較弱猜測：在完全正規跡保持映射下，$\alpha$-$z$ Rényi 相對熵的單調性。
• 提供一個統一的、基於變分法的證明方法，重新推導已知結果，特別是 $\Psi_{p,0,1/p}$ 在 $0 < p < 1$ 時的凹性，並以比先前複分析方法更簡潔的實變技術取代。

提出的方法

• 透過一種新穎的變分法，將問題簡化為分析 $\Psi_{p,1-p,1}(A,B) = \text{Tr}(K^* A^p K B^{1-p})$ 的聯合凸性/凹性，從而為 $\Psi_{p,q,s}$ 建立變分表達式。
• 應用變分恆等式 $\text{Tr}(X^* A^p X)^{1/p} = \max_{Z \in \mathcal{P(H)}^\times} \left\{ \frac{1}{p} \text{Tr}|A^{p/2} X Z|^{2} - \frac{1-p}{p} \text{Tr}|Z|^{2/(1-p)} \right\}$（其中 $0 < p < 1$），以及 $1 < p \leq 2$ 時的對偶最小化形式，將跡函數表達為下確界或上確界優化形式。
• 以 Ando 的凸性定理與 Lieb 的凹性定理作為基礎工具，分析所得變分表達式的凸性/凹性。
• 運用對偶論證，將一般 $\Psi_{p,q,s}$ 的情況簡化為較簡單的 $\Psi_{p,1-p,1}$ 情況，並利用對稱性與尺度性質。
• 透過反例與已知結果（特別是命題 2.3）確立參數範圍的嚴密性。
• 提供一個系統化的框架，統合並簡化先前的證明，特別是 $\Psi_{p,0,1/p}$ 的凹性，以實變變分技術取代複分析方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於所有可逆矩陣 K 及正定 A、B，參數範圍 $(p,q,s) \in \mathbb{R}^3$ 的哪一完整集合，使得跡函數 $\Psi_{p,q,s}(A,B) = \text{Tr}\left( B^{q/2} K^* A^p K B^{q/2} \right)^s$ 為聯合凸或凹？
• RQ2 Carlen-Frank-Lieb 猜測——即 $\Psi_{p,q,s}$ 在 $1 \leq p \leq 2$，$-1 \leq q < 0$，$(p,q) \neq (1,-1)$，且 $s \geq \frac{1}{p+q}$ 時為聯合凸——是否對所有 such K 成立？
• RQ3 是否可由 $\Psi_{p,q,s}$ 的凸性推導出的參數範圍，完全表徵在完全正規跡保持映射下 $\alpha$-$z$ Rényi 相對熵的單調性？
• RQ4 能否以更簡潔的實變變分法，重新推導出先前由 Epstein 使用複分析證明的 $\Psi_{p,0,1/p}$ 在 $0 < p < 1$ 時的聯合凹性？
• RQ5 對於 $\Psi_{p,q,s}$，凸性/凹性區域的精確邊界為何？為何點 $(1,-1)$ 和 $(-1,1)$ 被排除？

主要发现

• 本文完整表徵了所有可逆 K 下 $\Psi_{p,q,s}$ 的聯合凸性與凹性：當 $0 \leq q \leq p \leq 1$ 且 $0 < s \leq \frac{1}{p+q}$ 時為聯合凹；當 $-1 \leq q \leq p \leq 0$ 且 $s > 0$ 時為聯合凸；當 $-1 \leq q \leq 0$，$1 \leq p \leq 2$，$(p,q) \neq (1,-1)$，且 $s \geq \frac{1}{p+q}$ 時亦為聯合凸。
• Carlen-Frank-Lieb 猜測獲得證實：$\Psi_{p,q,s}$ 在 $1 \leq p \leq 2$，$-1 \leq q < 0$，$(p,q) \neq (1,-1)$，且 $s \geq \frac{1}{p+q}$ 時為聯合凸。
• 完全確定了在完全正規跡保持映射下具有單調性的 $\alpha$-$z$ Rényi 相對熵 $D_{\alpha,z}$ 的參數範圍：單調性成立當且僅當 (1) $0 < \alpha < 1$，$z \geq \max\{\alpha, 1-\alpha\}$；(2) $1 < \alpha \leq 2$，$\frac{\alpha}{2} \leq z \leq \alpha$；或 (3) $2 \leq \alpha < \infty$，$\alpha - 1 \leq z \leq \alpha$。
• 本文提供了 $\Psi_{p,0,1/p}$ 在 $0 < p < 1$ 時凹性的更簡潔變分法證明，此結果先前由 Epstein 使用複分析方法證明。
• 凸性參數範圍為嚴密：如命題 2.3 所示，任何更大的 $s$ 值均無法維持聯合凸性。
• 變分法成功推廣至多算子跡函數，但對於 $n \geq 3$ 個算子的聯合凸性，由於變分恆等式中出現非可分項，需額外假設。