[论文解读] Frontier Space-Time Algorithms Using Only Full Memory

Petr Chmel, Aditi Dudeja+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2026

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 0

一句话总结

本文给出仅使用 O(log n) 常规空间和亚线性催化空间的多项式时间催化算法，用以解决 STCONN、Edit Distance、LCS 与 Discrete Fréchet Distance，在非催化设置下达到的最优时空前沿。

ABSTRACT

We develop catalytic algorithms for fundamental problems in algorithm design that run in polynomial time, use only $\mathcal{O}(\log(n))$ workspace, and use sublinear catalytic space matching the best-known space bounds of non-catalytic algorithms running in polynomial time. First, we design a polynomial time algorithm for directed $s$-$t$ connectivity using $n \big/ 2^{Θ(\sqrt{\log n})}$ catalytic space, which matches the state-of-the-art time-space bounds in the non-catalytic setting [Barnes et al., 1998], and improves the catalytic space usage of the best known algorithm [Cook and Pyne, 2026]. Furthermore, using only $\mathcal{O}(\log(n))$ random bits we get a randomized algorithm whose running time nearly matches the fastest time bounds known for space-unrestricted algorithms. Second, we design polynomial time algorithms for the problems of computing Edit Distance, Longest Common Subsequence, and the Discrete Fréchet Distance, again using $n \big/ 2^{Θ(\sqrt{\log n})}$ catalytic space. This again matches non-catalytic time-space frontier for Edit Distance and Least Common Subsequence [Kiyomi et al., 2021].

研究动机与目标

• 激励并形式化催化计算，作为一种模型，在其中内存几乎被完全使用但必须在结束时恢复。
• 在催化框架内为基本问题（STCONN、ED、LCS、DFD）设计子线性空间的多项式时间算法。
• 将催化空间使用量提升至与这些问题的非催化时间–空间前沿相匹配的水平。
• 展示如何在催化约束下构造代表集合并利用基于流的与递归技术。

提出的方法

• 为 STCONN 构建确定性和随机化算法，时间为 poly(n)，普通空间 O(log n)，催化空间为 n/2^{Omega(sqrt(log n))}。
• 通过利用问题结构与网格状表示，将 STCONN 的技术扩展到 ED、LCS、DFD，实现亚线性催化空间。
• 采用将 Barnes 等人的亚线性非催化框架与 Cook 和 Pyne 的催化流方法相结合的混合方法。
• 通过成对独立哈希族与展开器构造集合 U，以实现稀疏但保持连通性的图。
• 采用递归、基于颜色类的分解与路径计数的不变量，在保持催化记忆的同时进行路径计数。
• 对于 ED、LCS、DFD，将问题归约到网格图加权可达性，并使用中国剩余表示对小素数模下的路径计数或权重进行读出。

实验结果

研究问题

• RQ1 STCONN 能否在多项式时间内以子线性催化空间实现，并使用 O(log n) 常规空间？
• RQ2 是否可以在不显著增加催化或常规空间的情况下将亚线性催化空间技术推广到 ED、LCS、DFD？
• RQ3 在催化约束下，如何高效构造代表集合以保持连通性信息？
• RQ4 是否可以将基于流、递归、模运算等技术合并，在催化限制下计数 u–v 路径？
• RQ5 在该催化模型下，计算 ED、LCS、DFD 的精确时间与空间权衡关系是什么？

主要发现

• 存在一个对 n 顶点图的确定性 STCONN 算法，时间为 poly(n)，普通空间为 O(log n)，催化空间为 n/2^{Omega(sqrt(log n))}。
• 存在一个使用 O(log n) 随机比特的随机 STCONN 算法，时间与催化空间可比，具有单边误差，在相同空间界限内可去随机化。
• 存在针对 ED、LCS、DFD 的确定性催化空间算法，时间为 poly(n)，普通空间 O(log n)，催化空间为 n/2^{Omega(sqrt(log n))}。
• DFD 算法在催化约束下实现多项式时间 O(n^{4+ε})，覆盖多项式范围的整数距离。
• ED 与 LCS 的方法通过网格图结构与对小素数的加权路径计数实现亚线性催化空间的利用，避免对 STCONN 的直接、全空间化归约。
• 代表集合的构造使用成对独立哈希族与扩展器游走，确保低空间且高概率的图稀化。