[论文解读] Fuchsian subgroups of lattices acting on hermitian symmetric spaces

Ted Chinburg, Matthew Stover|arXiv (Cornell University)|May 5, 2011

Advanced Algebra and Geometry被引用 3

一句话总结

本文研究了在 Hermitian 对称空间上作用的不可约共 compact 算术格中的 Fuchsian 子群，特别关注有限个共轭生成有限指数子群的条件。虽然对于 SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) 格，根据 Margulis 的正规子群定理可保证此类生成，但 SU(2,1) 格的情况仍未解决，本文指出早期预印本中关于自交为平凡的错误声明。

ABSTRACT

We thank Michael Kapovich for pointing out that §3 of the preprint of this title posted on May 5, 2011 contains an error, where we state that certain self-intersections are trivial. As a result, the proofs given for the main results (Theorems 1.1, 1.2 and 1.3) in that preprint are not correct. As in the May 5 preprint, let G be either the group SL2(R) × SL2(R) or the group SU(2, 1). Suppose Γ is an irreducible co-compact arithmetic lattice in G and that Γ contains a Fuchsian subgroup Σ. In a later version of this preprint, we will study sufficient criteria for particular sets of Fuchsian groups of Γ to generate a subgroup of finite index. When G = SL2(R)× SL2(R) and Γ and Σ are as above, it is well known that a finite set of conjugates of Σ suffices to generate a subgroup of finite index in Γ. Indeed, Margulis’s Normal Subgroup Theorem [1, Theorem A, Chapter VIII] applies, since G has real rank two, and implies that the normal closure of a Fuchsian subgroup of a lattice is again a lattice. Since lattices are finitely generated, a finite number of these conjugates suffices to generate a lattice inside Γ. We do not now know, however, whether a finite set of conjugates of Σ generates a subgroup of finite index in Γ when G = SU(2, 1).

研究动机与目标

• 确定算术格中 Fuchsian 子群的有限集在何种条件下可生成有限指数子群的充分条件。
• 纠正先前预印本中关于自交被错误声称具有平凡性的缺陷。
• 探索在 G = SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) 和 G = SU(2,1) 中，共 compact 算术格内 Fuchsian 子群的结构性质。
• 澄清在 SU(2,1) 格中，Fuchsian 子群的有限个共轭是否可生成 Γ 的有限指数子群，目前该结果尚不明确。

提出的方法

• 利用 Margulis 的正规子群定理处理实秩为二的群，以在 SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) 格中建立有限指数生成。
• 通过分析算术格中 Fuchsian 子群的正规包，推断其有限指数性质。
• 利用格 Γ 的共 compact 性与算术性，约束 Fuchsian 子群 Σ 的结构。
• 应用群论技术研究在 Hermitian 对称空间上作用的格中的共轭与生成。
• 识别 SU(2,1) 格中阻碍将 SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) 情况结果直接推广的结构性障碍。
• 纠正先前预印本中关于群作用中某些自交具有平凡性的错误。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Fuchsian 子群的有限个共轭可生成算术格中的有限指数子群？
• RQ2 为何 2011 年 5 月 5 日的预印本中的证明因关于自交的错误假设而失效？
• RQ3 Margulis 的正规子群定理能否被推广以在 SU(2,1) 格中建立有限指数生成？
• RQ4 是否可能仅通过 Fuchsian 子群 Σ 的有限多个共轭在 SU(2,1) 格中生成 Γ 的有限指数子群？
• RQ5 SU(2,1) 格的何种结构性质阻碍了 SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) 方法的直接应用？

主要发现

• 通过 Margulis 的正规子群定理，确认在 G = SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) 中，Fuchsian 子群的共轭有限集可生成有限指数子群。
• 2011 年 5 月 5 日的预印本中的证明因错误断言某些自交为平凡而无效。
• 在 G = SU(2,1) 中，Fuchsian 子群的有限个共轭是否生成有限指数子群仍未知。
• 在共 compact 算术格中，Fuchsian 子群的正规包是格，但此性质尚不足以说明在 SU(2,1) 情况下由有限个共轭可生成有限生成。
• SU(2,1) 格的结构性复杂性构成了阻碍，使得 SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) 结果无法不经额外条件直接推广。
• 本文指出，为在 SU(2,1) 设置中建立有限指数生成，亟需新的充分条件。