[论文解读] Fujiki relation on symplectic varieties

Daisuke Matsushita|ArXiv.org|Sep 22, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文将富士キ对贝维尔-博戈莫洛夫二次型与上面上积关系推广至具有奇点的投影对称形式簇，建立了广义二次型 $ q_Z $ 在 $ H^2(Z,\mathbb{C}) $ 上的富士キ型关系 $ C_Z q_Z(\alpha)^n = \alpha^{2n} $。关键贡献在于证明该关系对这类簇的纤维空间结构施加了强约束：任何映射到正常投影基的纤维化，其基维数必为 $ n $，纤维为阿贝尔簇，且奇点集映射到基的真子集。

ABSTRACT

We generalize Fujiki relation of Beauville-Bogomolov quadratic form on a projective symplectic variety. As an application, we study a fibre space structure of a projective symplectic variety.

研究动机与目标

• 将富士キ关于贝维尔-博戈莫洛夫形式与上面上积的关系推广至具有奇点的对称形式簇。
• 研究该广义关系在投影对称形式簇纤维结构上的几何影响。
• 确立对称形式簇纤维化中纤维为阿贝尔簇且基维数为 $ n $ 的条件。

提出的方法

• 通过在解析 $ \tilde{Z} \to Z $ 上对辛形式及其共轭的拉回进行积分，定义 $ H^2(Z,\mathbb{C}) $ 上的广义二次型 $ q_Z $。
• 在奇点余维数 > 4、$ \mathbb{Q} $-因子化奇点、且满足 $ h^1(O_Z)=0 $、$ h^2(O_Z)=1 $ 的条件下，证明 $ q_Z $ 满足富士基关系 $ C_Z q_Z(\alpha)^n = \alpha^{2n} $。
• 利用周期映射与变形理论，证明二次型 $ q_Z $ 在变形下不变，且与解析选择无关。
• 应用 $ Z $ 上除子的黎曼-罗赫公式，将 $ \chi(D) $ 表示为 $ q_Z(D)^k $ 的多项式，以分析除子类。
• 利用富士基关系与数值等价性，推导出有效除子在纤维化 $ f: Z \to B $ 下像的约束。
• 通过取六维阿贝尔簇关于有限群作用的商，构造反例，表明即使在纤维化条件下，$ -K_B $ 也未必为非常 ample。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义贝维尔-博戈莫洛夫形式在具有奇点的投影对称形式簇上，富士基关系 $ C_Z q_Z(\alpha)^n = \alpha^{2n} $ 是否成立？
• RQ2 该广义富士基关系对这类簇的纤维结构具有何种几何后果？
• RQ3 对称形式簇的纤维化 $ f: Z \to B $ 的基维数是否可能小于 $ n $，或必须恰好为 $ n $？
• RQ4 在何种条件下，此类纤维化的通纤维为阿贝尔簇？
• RQ5 当 $ f: Z \to B $ 是对称形式簇的纤维化时，反 canonical 线丛 $ -K_B $ 是否必然为 ample？

主要发现

• 对所有 $ \alpha \in H^2(Z,\mathbb{C}) $，广义二次型 $ q_Z $ 满足 $ C_Z q_Z(\alpha)^n = \alpha^{2n} $，其中 $ C_Z $ 为仅依赖于 $ Z $ 的常数。
• 二次型 $ q_Z $ 的指标为 $ (3, h^2(Z,\mathbb{C}) - 3) $，确认其符号性质。
• 对 $ Z $ 上任意卡蒂埃除子 $ D $，欧拉示性数 $ \chi(D) $ 是 $ q_Z(D)^k $ 的 $ n $ 次多项式，系数仅依赖于 $ Z $。
• 在任意具有正维数通纤维的纤维化 $ f: Z \to B $ 中，基 $ B $ 的维数必为 $ n $，且 Picard 数为 1。
• 通纤维 $ F $ 为 $ n $ 维阿贝尔簇，且辛形式 $ \omega $ 在 $ F $ 上的限制为零。
• 奇点集的像 $ f(Z_{\text{sing}}) $ 是 $ B $ 的真闭子集，且对任意有效除子 $ D $，有 $ \dim f(D) \geq \dim B - 1 $。