[论文解读] Fujita blow up phenomena and hair trigger effect: the role of dispersal tails

Matthieu Alfaro|arXiv (Cornell University)|May 3, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 26被引用 41

一句话总结

本文确立了非局部扩散方程中决定爆破与全局存在性的Fujita指数，其关键取决于扩散核 $ J $ 的尾部行为。对于具有代数尾部的核，当 $ J $ 的二阶矩有限时，Fujita指数在热类型（$ p_F = 2/N $）与分数阶类型（$ p_F = \alpha/N - 1 $）之间发生转变，其在种群动力学中的应用表明，当长程扩散占主导时会出现发刺效应。

ABSTRACT

We consider the nonlocal diffusion equation $\\partial \\_t u=J*u-u+u^{1+p}$ in the whole of $\\R ^N$. We prove that the Fujita exponent dramatically depends on the behavior of the Fourier transform of the kernel $J$ near the origin, which is linked to the tails of $J$. In particular, for compactly supported or exponentially bounded kernels, the Fujita exponent is the same as that of the nonlinear Heat equation $\\partial \\_tu=\\Delta u+u^{1+p}$. On the other hand, for kernels with algebraic tails, the Fujita exponent is either of the Heat type or of some related Fractional type, depending on the finiteness of the second moment of $J$. As an application of the result in population dynamics models, we discuss the hair trigger effect for $\\partial \\_t u=J*u-u+u^{1+p}(1-u)$

研究动机与目标

• 确定扩散核 $ J $ 的尾部行为如何影响非局部反应-扩散方程中的Fujita指数。
• 基于 $ J $ 的二阶矩的可积性，分析热类型与分数阶类型Fujita指数之间的转变。
• 建立在具有长程扩散和弱Allee效应的种群动力学模型中发刺效应发生的条件。
• 将经典的Fujita结果从局部（热方程）和分数阶扩散推广至具有重尾核的非局部扩散。
• 建立 $ \widehat{J}(\xi) $ 在 $ \xi = 0 $ 附近衰减行为与爆破或灭绝临界指数之间的严格联系。

提出的方法

• 分析 $ \mathbb{R}^N $ 上的非局部扩散方程 $ \partial_t u = J*u - u + u^{1+p} $，重点关注 $ \widehat{J}(\xi) $ 在 $ \xi = 0 $ 附近的性质。
• 通过 $ J $ 的傅里叶变换的渐近分析对尾部分类：紧支集、指数衰减或代数衰减 $ J(x) \sim |x|^{-\alpha} $。
• 应用比较原理与次解构造，利用时间依赖的障碍函数 $ \Phi(t,x) $ 证明爆破或灭绝。
• 通过特征函数 $ \widehat{J}(\xi) $ 估计卷积 $ J^{*(k)} $ 的衰减，利用 $ 1 - \widehat{J}(\xi) \sim A|\xi|^\beta $ 当 $ \xi \to 0 $ 时的性质。
• 通过构造一个随时间增长的次解 $ W(t,x) $，使其从微小初值均匀地增长至接近1的值，从而确立发刺效应。
• 使用时间正则化解 $ \psi(T, \cdot) $，并通过估计尾部积分 $ \int_{|y| \geq m\tau^{1/\beta}} \psi(T,x-y) dy \leq C' T / \tau $ 控制收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 扩散核 $ J $ 的尾部行为如何影响非局部扩散方程中的Fujita指数？
• RQ2 当 $ J $ 具有代数尾部时，Fujita指数从热类型（$ p_F = 2/N $）转变为分数阶类型（$ p_F = \alpha/N - 1 $）的条件是什么？
• RQ3 $ J $ 的二阶矩的有限性在确定临界指数中起什么作用？
• RQ4 在具有长程扩散和弱Allee效应的种群动力学中，发刺效应在何种条件下发生？
• RQ5 对于具有重尾核的非局部方程，能否严格证明发刺效应的存在？

主要发现

• 对于紧支集或指数衰减的核，Fujita指数为 $ p_F = \frac{2}{N} $，与经典热方程一致。
• 对于代数尾部 $ J(x) \sim |x|^{-\alpha} $ 且满足 $ N < \alpha \leq N+2 $ 的情况，Fujita指数为 $ p_F = \frac{\alpha}{N} - 1 $，对应分数阶扩散情形。
• 当 $ \alpha > N+2 $ 时，$ J $ 的二阶矩有限，Fujita指数恢复为热类型 $ p_F = \frac{2}{N} $。
• 发刺效应在 $ p < \frac{1}{2} \frac{\beta}{N} $ 时成立，其中 $ \beta $ 是 $ 1 - \widehat{J}(\xi) \sim A|\xi|^\beta $ 中的指数，确保从微小初值出发的解在紧集上均匀趋近于1。
• 证明依赖于构造一个次解，使其在有限时间内从 $ \varepsilon $ 增长至 $ 1 - 2\varepsilon $，并利用时间正则化卷积估计与尾部衰减控制。
• 临界指数取决于 $ \widehat{J}(\xi) $ 在 $ \xi = 0 $ 附近的局部行为，从而将谱性质与长期动力学联系起来。