[论文解读] Fukushima type decomposition for semi-Dirichlet forms

Zhi-Ming Ma, Wei Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文在弱化假设（假设2.3）下，为拟正则半狄拉克形式建立了福岛型分解，证明了函数 $ u \in D(\mathcal{E})_{\text{loc}} $ 允许此类分解当且仅当其满足条件 (S)，且分解唯一。该结果扩展了先前工作，不再需要子马尔可夫对偶形式或局部控制条件。

ABSTRACT

We present a Fukushima type decomposition in the setting of general quasi-regular semi-Dirichlet forms. The decomposition is then employed to give a transformation formula for martingale additive functionals. Applications of the results to some concrete examples of semi-Dirichlet forms are given at the end of the paper. We discuss also the uniqueness question about Doob-Meyer decomposition on optional sets of interval type.

研究动机与目标

• 将福岛型分解从对称狄拉克形式推广至一般拟正则半狄拉克形式，且无需对偶形式为子马尔可夫形式。
• 在半狄拉克设定下，建立分解存在的必要与充分条件（即条件 (S)）。
• 利用分解推导鞅加法泛函的变换公式。
• 研究在区间型可选集上杜布-迈耶分解的唯一性。
• 验证结果在具体半狄拉克形式实例中的适用性，包括非局部与非对称情形。

提出的方法

• 采用半-$ h $-变换方法，将拟正则半狄拉克形式与子马尔可夫对偶形式关联。
• 运用局部化与粘贴技术处理局部集上的分解，特别是 $ I(\zeta) = [\![0,\zeta[\![ \cup [\![\zeta_i]\!] $，其中 $ \zeta $ 为寿命，$ \zeta_i $ 为完全不可预测部分。
• 引入假设2.3，其为弱于 [14] 中的局部控制条件或 [19] 中的条件 $ (\mathcal{E}.5) $ 的较弱条件，以确保分解的存在性。
• 应用函数的 $ \mathcal{E} $-准连续版本概念，以样本路径方式定义分解。
• 利用分解推导鞅加法泛函的变换公式，推广了狄拉克形式框架下的伊藤公式。
• 通过能量估计与弱收敛论证，证明能量范数的收敛性，尤其在 $ t \downarrow 0 $ 极限下，表明交叉变差项趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，拟正则半狄拉克形式的局部域中函数存在福岛型分解？
• RQ2 当分解存在时是否唯一？条件 (S) 在确保唯一性中起何作用？
• RQ3 该分解如何推广至非局部与非对称半狄拉克形式？
• RQ4 能否从分解中导出鞅加法泛函的变换公式？
• RQ5 在区间型可选集上，杜布-迈耶分解与福岛型分解之间有何关系？

主要发现

• 函数 $ u \in D(\mathcal{E})_{\text{loc}} $ 允许福岛型分解当且仅当其满足条件 (S)，且在假设2.3下分解唯一。
• 分解形式为 $ \tilde{u}(X_t) - \tilde{u}(X_0) = M^{[u]}_t + N^{[u]}_t $，其中 $ M^{[u]} $ 为局部平方可积鞅加法泛函，$ N^{[u]} $ 为 $ I(\zeta) $ 上零二次变差的连续加法泛函。
• 假设2.3严格弱于 [14] 中的局部控制条件及 [19] 中的条件 $ (\mathcal{E}.5) $，从而扩大了分解的适用范围。
• 推导出鞅加法泛函的变换公式，推广了狄拉克形式框架下的经典结果。
• 将结果应用于两个具体实例：含跳跃项的非局部半狄拉克形式，以及非对称扩散-跳跃生成元，二者均满足所需条件。
• 对这两个实例，定理对所有满足条件 (S) 的 $ u \in D(\mathcal{E})_{\text{loc}} $ 成立，特别地，对所有 $ u \in D(\mathcal{E}) $ 成立，原因在于不等式 $ |k_a(x,y)| \leq k_s(x,y) $。