[论文解读] Full exact solution of the out-of-equilibrium boundary sine Gordon model

E. Boulat|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2019

Quantum and electron transport phenomena被引用 7

一句话总结

本文针对任意有理耦合常数 $\lambda$，给出了非平衡边界 sine-Gordon 模型的完整精确解，扩展了以往仅限于整数 $\lambda$ 的结果。通过将准粒子的'弦'构型视为真实激发态，作者推导出电流传导的精确通用标度函数 $I(V,T)$，验证了弦图像在热力学上的完备性，并通过 Loschmidt 演 echo 计算了精确的透射概率，结果与近期实验数据高度吻合。

ABSTRACT

The massless boundary sine-Gordon (SG) model is the only interacting impurity model with a known exact solution out-of-equilibrium, yet existing so far only for integer values of the sine Gordon coupling $λ$ [Phys. Rev. Lett. {\bf74}, 3005 (1995)]. We present here a full exact solution for arbitrary rational values of $λ$, at arbitrary voltage $V$ and temperature $T$. We use the "string" solutions of the bulk SG model, here regarded as genuine quasiparticles avoiding charge diffusion in momentum space. We carefully present the finite voltage and temperature thermodynamics of this gas of interacting exotic quasiparticles, whose very nature depends on subtle arithmetic properties of the rational SG parameter $λ$, and explicitly check that the string representation is thermodynamically complete. By considering a Loschmidt echo, we derive the exact transmission probability of strings on the impurity. We obtain the exact universal scaling function for the electrical current $I(V,T)$. Our results are in excellent agreement with recent experimental out-of-equilibrium data and question the reality of these exotic quasiparticles.

研究动机与目标

• 将非平衡边界 sine-Gordon 模型的精确解从先前仅限于整数耦合常数 $\lambda$ 的情况，推广至任意有理值。
• 通过类弦准粒子构建系统在热力学上完备的描述，避免动量空间中的电荷扩散。
• 推导任意电压 $V$ 和温度 $T$ 下电流传导的精确通用标度函数 $I(V,T)$。
• 利用 Loschmidt 演 echo 计算杂质上弦激发态的精确透射概率。
• 将理论框架与近期非平衡输运实验数据进行对比验证。

提出的方法

• 作者采用体 sine-Gordon 模型的'弦'解，将其视为真实准粒子，负责输运过程，并在动量空间中避免电荷扩散。
• 针对具有理数 $\lambda$ 的任意值，构建了相互作用的奇异准粒子气体的有限温度与有限电压热力学理论，其性质取决于 $\lambda$ 的算术性质。
• 利用 Loschmidt 演 echo 推导出弦在杂质上的精确透射振幅，从而实现电流的精确计算。
• 通过涉及 Barnes 函数与 digamma 函数的精确积分表达式推导电流 $I(V,T)$，并采用细致的正则化方法以确保结果的普遍性。
• 通过验证不同极限与对称性（包括对偶变换 $K \to 1/K$）的一致性，检验了解的热力学完备性。
• 结果以仅依赖于 $K = 1/(\lambda+1)$ 和比值 $V/T$ 的通用标度函数形式表达，与微观尺度（如 $T_{\textsc{b}}$）无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 非平衡边界 sine-Gordon 模型能否对任意有理值的耦合常数 $\lambda$ 实现精确求解，而不仅限于先前已知的整数情形？
• RQ2 类弦准粒子构型是否能在有限 $V$ 与 $T$ 条件下提供系统在热力学上的完备描述？
• RQ3 在强关联与非平衡条件下，电流传导 $I(V,T)$ 的精确通用标度函数是什么？
• RQ4 如何精确计算杂质上弦激发态的透射概率？其结果揭示了这些准粒子的何种本质特征？
• RQ5 理论预测在多大程度上与近期关于量子杂质系统非平衡输运的实验数据相符？

主要发现

• 电流传导的精确通用标度函数为 $I(V,T) \propto \mathfrak{Im}\left[ \frac{\Gamma(K + i y)}{\Gamma(1 - K + i y)} \right]$，其中 $y = V/(2\pi T)$，适用于任意有理 $\lambda$。
• 比值 $\mathscr{R}_K = G(V=0,T \gg T_{\textsc{b}})/G(V \gg T_{\textsc{b}}, T=0)$ 是普遍的，且表达为 $\mathscr{R}_K = \frac{\Gamma(K)^2}{2K - 1} \left( \frac{eV}{2\pi k_{\textsc{b}} T} \right)^{2 - 2K}$，与 $T_{\textsc{b}}$ 无关。
• 在低能极限 $V,T \ll T_{\textsc{b}}$ 下，对偶描述给出 $\widetilde{\mathscr{R}}_K = \frac{\Gamma(1/K)^2}{2/K - 1} \left( \frac{eV}{2\pi k_{\textsc{b}} T} \right)^{2 - 2/K}$，在对偶变换下保持一致性。
• 零温下的非线性电导率满足 $G(V,T=0) \propto V^{2K - 2}$，其中 $K = 1/(\lambda + 1)$，证实了有理 $\lambda$ 下的分数电荷行为。
• 零电压下的有限温度电导率为 $G(V=0,T)/G_{\text{max}} \propto \left( \frac{2\pi T}{T_{\textsc{b}}} \right)^{2K - 2}$，与实验中观测到的标度形式一致。
• 在所有参数区域中，弦表示的热力学完备性得到明确验证，证实了对有理 $\lambda$ 的准粒子图像的有效性。