[论文解读] Full residual finiteness growths of nilpotent groups

Khalid Bou-Rabee, Daniel Studenmund|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文确定了有限生成幂零群的完整剩余有限性增长，表明当中心包含下中央列的末项时，其增长为多项式，次数为 $ c \cdot \dim(G) $。对于一般幂零群，论文引入了‘阶梯滤子’以界定增长次数，并刻画了何时该增长与词增长一致——仅在几乎阿贝尔群中成立。

ABSTRACT

Full residual finiteness growth of a finitely generated group $G$ measures how efficiently word metric $n$-balls of $G$ inject into finite quotients of $G$. We initiate a study of this growth over the class of nilpotent groups. When the last term of the lower central series of $G$ has finite index in the center of $G$ we show that the growth is precisely $n^b$, where $b$ is the product of the nilpotency class and dimension of $G$. In the general case, we give a method for finding an upper bound of the form $n^b$ where $b$ is a natural number determined by what we call a terraced filtration of $G$. Finally, we characterize nilpotent groups for which the word growth and full residual finiteness growth coincide.

研究动机与目标

• 理解有限生成幂零群中完整剩余有限性增长的渐近行为。
• 确定该增长为多项式时的条件，并计算其精确次数。
• 为一般幂零群开发基于滤子的方法以界定增长次数。
• 刻画完整剩余有限性增长与词增长一致的幂零群。
• 解决 $p$-群商随素数 $p$ 显著变化所带来的挑战，从而影响全局分析。

提出的方法

• 引入‘阶梯滤子’的概念——即正规子群链 $1 = H_0 \leq \cdots \leq H_{c-1} \leq G$，其中每个 $H_i$ 满足 $H_i \cap \gamma_{i+1}(G) = 1$。
• 利用 Oskin 和 Pittet 的扭曲结果控制商群中的词长，建立在有限商群中检测球的方法。
• 从连续商群 $H_i/H_{i-1}$ 的基拉回构造生成集 $Y$，以分析凯莱图中的增长。
• 应用无扭幂构造 $G^{fM}$，以确保商群行为良好且可检测。
• 通过连续层 $H_k/H_{k-1}$ 的维数界定 $G$ 中正规子群 $N(Dn)$ 的指数，从而得到多项式上界。
• 利用等价关系 $f \approx g$ 定义与生成集无关的增长类，确保主要结果的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $[Z(G) : \gamma_c(G)] < \infty$ 时，幂零群的完整剩余有限性增长的精确多项式次数是什么？
• RQ2 如何对一般有限生成幂零群的完整剩余有限性增长进行统一有界？
• RQ3 阶梯滤子的选择是否会影响所得的增长次数上界？
• RQ4 在哪些幂零群中，完整剩余有限性增长与词增长一致？
• RQ5 完整剩余有限性增长能否仅通过凯莱图的渐近数据来刻画？

主要发现

• 当 $[Z(G) : \gamma_c(G)] < \infty$ 时，$G$ 的完整剩余有限性增长为 $\Phi_G(n) \approx n^{c \cdot \dim(G)}$，其中 $c$ 为幂零类。
• 对于一般幂零群，通过阶梯滤子 $H_0 \leq \cdots \leq H_{c-1}$，其增长被上界控制为 $n^{c \cdot \dim(G) - \sum_{i=1}^{c-1} \dim(H_i)}$。
• 上界依赖于阶梯滤子的选择，如群 $G = U_3 \times U_4 \times U_5 / Z$ 所示，其两个滤子分别导致 $\dim(\pi(U_3)) = 3$ 与 $\dim(\pi(U_4)) = 6$，从而产生不同的界。
• 完整剩余有限性增长 $\Phi_G$ 与词增长 $w_G$ 一致当且仅当 $G$ 是几乎阿贝尔群。
• 增长函数 $\Phi_G$ 与有限生成集的选择无关，这是通过等价关系 $f \approx g$ 建立的。
• 构造 $G/N(Dn)$ 可检测球 $B_Y(n)$，其阶数被一个次数为 $c \cdot \dim(G) - \sum_{i=1}^{c-1} \dim(H_i)$ 的多项式所界定，从而证明了上界。