[论文解读] Fully Computable Error Bounds for Eigenvalue Problem

Hehu Xie, Meiling Yue+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 7

一句话总结

本文针对在一般网格上使用一致有限元方法的特征值问题的有限元逼近，提出了完全可计算的误差界。通过结合互补能量法与后验误差估计，该方法在拟一致和规则网格上均实现了特征函数误差的保证上界以及第一特征值的保证下界，且具有渐近精确性和鲁棒性。

ABSTRACT

This paper is concerned with the computable error estimates for the eigenvalue problem which is solved by the general conforming finite element methods on the general meshes. Based on the computable error estimate, we can give an asymptotically lower bound of the general eigenvalues. Furthermore, we also give a guaranteed upper bound of the error estimates for the first eigenfunction approximation and a guaranteed lower bound of the first eigenvalue based on computable error estimator. Some numerical examples are presented to validate the theoretical results deduced in this paper.

研究动机与目标

• 开发使用一致有限元方法对特征对逼近的可计算后验误差估计。
• 为第一特征函数逼近误差提供保证上界。
• 利用可计算的估计器推导第一特征值的保证下界。
• 确保在一般网格上对一般特征值的误差估计具有渐近精确性，且下界具有渐近精确性。
• 在采用自适应和规则网格的线性与二次有限元上对方法进行数值验证。

提出的方法

• 使用互补能量法构造特征函数误差的可计算误差估计器。
• 应用后验误差估计技术，推导能量范数误差 $\|u - u_h\|_a$ 的上界。
• 通过在有限元空间 $\mathbf{W}_h^0$ 和 $\mathbf{W}_h^1$ 中求解对偶问题，计算误差估计器。
• 利用计算得到的误差估计器和 $\lambda_2$ 的下界，推导第一特征值 $\lambda_1$ 的保证下界。
• 从局部单元贡献构建全局后验误差估计器 $\eta_{\rm ad}(\lambda_h, u_h)$。
• 在 L 形区域上，利用自适应和均匀网格的线性与二次单元验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般网格上，使用一致有限元方法，为特征对逼近构造完全可计算的后验误差界？
• RQ2 该方法能否为特征函数误差提供保证上界，同时为第一特征值提供保证下界？
• RQ3 该误差估计在非均匀或规则网格上是否仍保持渐近精确性和鲁棒性？
• RQ4 对偶有限元空间的选择（$\mathbf{W}_h^0$ 与 $\mathbf{W}_h^1$）如何影响误差估计器和下界估计的精度？
• RQ5 该方法能否推广至密度泛函理论中出现的非线性特征值问题？

主要发现

• 所提出的可计算误差估计器 $\eta_{\rm ad}(\lambda_h, u_h)$ 在一般网格上对特征对逼近具有高效性与渐近精确性。
• 上界 $\eta_h^U(\lambda_h, u_h, \mathbf{y}_h^*)$ 可靠地界定了真实能量误差 $\|u - u_h\|_a$，适用于线性和二次有限元。
• 计算得到的下界 $\lambda_h^L$ 无论对偶问题在 $\mathbf{W}_h^0$ 还是 $\mathbf{W}_h^1$ 中求解，均为第一特征值 $\lambda_1$ 的保证下界。
• 在 L 形区域上的数值结果证实了后验误差估计器的高效性以及保证界对于线性和二次单元的可靠性。
• 该方法在自适应和规则网格上均保持了鲁棒的精度，展现出其通用性与实用性。
• 该方法可推广至其他特征值问题，如斯蒂克洛夫问题、斯托克斯问题，以及密度泛函理论中的非线性特征值问题。