[论文解读] Fully Coupled Forward-Backward Stochastic Functional Differential Equations and Applications to Quadratic Optimal Control

XU Xiao-ming|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文建立了完全耦合的前向-后向随机泛函微分方程（FBSFDEs）解的存在性与唯一性，其中前向部分依赖于历史路径信息，后向部分依赖于未来路径信息。该理论被应用于求解一个二次最优控制问题，通过FBSFDE框架推导出显式且唯一的最优控制律。

ABSTRACT

In this paper, we consider the fully coupled forward-backward stochastic functional differential equations (FBSFDEs) with stochastic functional differential equations as the forward equations and the generalized anticipated backward stochastic differential equations as the backward equations. We will prove the existence and uniqueness theorem for FBSFDEs. As an application, we deal with a quadratic optimal control problem for functional stochastic systems, and get the explicit form of the optimal control by virtue of FBSFDEs.

研究动机与目标

• 建立完全耦合的前向-后向随机泛函微分方程（FBSFDEs）解的存在性与唯一性，其前向部分具有路径依赖性，后向部分具有预测性。
• 通过在状态和对偶过程的整个过去与未来路径上引入一般函数依赖关系，将经典FBSDE理论进行扩展。
• 将理论结果应用于具有时滞和路径依赖系数的泛函随机系统的二次最优控制问题。
• 利用FBSFDE框架，推导出此类系统中最优控制的显式、封闭形式表达式。

提出的方法

• 构建一类广义FBSFDEs，其中前向方程为依赖于整个历史路径的随机泛函微分方程（SFDE），后向方程为依赖于整个未来路径的广义预测倒向SDE。
• 对系数施加标准的利普希茨条件与线性增长条件，以确保系统的适定性。
• 在适当的随机函数空间中应用不动点论证与先验估计，证明FBSFDE系统解的存在性与唯一性。
• 将FBSFDE的解应用于具有布朗运动驱动、且漂移与扩散系数具有路径依赖性的泛函随机系统的二次最优控制问题。
• 推导出类似哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）的方程，并利用伴随方程通过FBSFDE刻画最优控制。
• 建立最优控制为 $ u_t = -N_t^{-1}(C_t^T Y_t + F_t^T Z_t) $，该结果由一阶最优性条件导出，并通过能量估计加以验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有路径依赖动态的完全耦合前向-后向随机泛函微分方程系统存在唯一解？
• RQ2 如何将预测倒向SDE的理论扩展至处理耦合前向-后向系统中对未来路径的一般函数依赖？
• RQ3 此类广义FBSFDE系统的解能否用于求解具有时滞与路径依赖系数的二次最优控制问题？
• RQ4 在具有二次代价函数的泛函随机系统中，最优控制的显式形式是什么？其唯一性是否成立？

主要发现

• 在系数满足标准利普希茨条件与线性增长条件的假设下，完全耦合FBSFDE系统解的存在性与唯一性已得证。
• FBSFDE系统解被用于推导具有时滞与路径依赖动态的泛函随机系统中二次代价泛函的最优控制。
• 最优控制显式表示为 $ u_t = -N_t^{-1}(C_t^T Y_t + F_t^T Z_t) $，其中 $ Y_t $ 与 $ Z_t $ 为FBSFDE解的组成部分。
• 最优控制是唯一的，其证明基于凸性分析以及控制加权矩阵 $ N_t $ 的正定性。
• 推导过程依赖于能量估计，以及状态过程与伴随过程之间的对偶关系，表明在最优控制处代价泛函的一阶变分消失。
• 该方法证实最优控制由FBSFDE系统刻画，为求解此类控制问题提供了一套系统化的方法。