[论文解读] Fully-Discrete Finite Element Approximations for a fourth-order linear stochastic parabolic equation with additive space-time white noise: II. 2D and 3D Case

Georgios T. Kossioris, Georgios E. Zouraris|ArXiv.org|Jun 9, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文针对二维和三维空间中具有加法型时空白噪声的四阶线性随机抛物方程，提出了全离散有限元逼近方法。在空间上采用 $C^1$-协调有限元，在时间上采用后向欧拉方法，建立了强先验误差估计，证明了在噪声和解具有正则性假设的条件下，空间收敛率为 $\mathcal{O}(h^{ u(r,d)-\epsilon})$，时间收敛率为 $\mathcal{O}$(\Delta\tau^{rac{4-d}{8}-\epsilon})$。

ABSTRACT

We consider an initial- and Dirichlet boundary- value problem for a fourth-order linear stochastic parabolic equation, in two or three space dimensions, forced by an additive space-time white noise. Discretizing the space-time white noise a modeling error is introduced and a regularized fourth-order linear stochastic parabolic problem is obtained. Fully-discrete approximations to the solution of the regularized problem are constructed by using, for discretization in space, a standard Galerkin finite element method based on C1 piecewise polynomials, and, for time-stepping, the Backward Euler method. We derive strong a priori estimates for the modeling error and for the approximation error to the solution of the regularized problem.

研究动机与目标

• 为二维和三维空间中由加法型时空白噪声驱动的四阶随机抛物方程，发展并分析全离散有限元逼近方法。
• 解决当噪声在时间和空间上均为白噪声时带来的正则性缺失问题，该问题需要对噪声进行正则化处理。
• 推导建模误差（由噪声正则化引起）和全离散逼近误差的强先验误差估计。
• 在 $L^2(\Omega; L^2(D))$-范数下，建立使用 $C^1$-协调有限元和后向欧拉时间推进的全离散格式的收敛速率。
• 量化误差对网格尺寸 $h$ 和时间步长 $\Delta\tau$ 的依赖关系，同时考虑空间维数和多项式阶数 $r$ 的影响。

提出的方法

• 通过在时空有限元上采用分段常数逼近对时空白噪声进行正则化，得到一系列正则化的随机问题序列。
• 利用基于次数 $r \in \{2,3,4\}$ 的分段多项式构造的 $C^1$-协调有限元空间对空间区域进行离散化，确保满足四阶问题所需的 $H^2$-协调性。
• 采用后向欧拉方法进行时间积分，得到具有隐式时间推进和空间伽辽金投影的全离散格式。
• 通过格林函数 $G(t;x,y)$ 的随机卷积表示法表示解，推导积分形式并应用伊藤等距性进行误差估计。
• 通过离散椭圆算子 $\Lambda_h$ 的谱分析建立误差界，利用希尔伯特-施密特范数估计和特征函数展开。
• 通过结合逆椭圆算子的确定性误差界与来自伊藤等距性和柯西-施瓦茨不等式的随机估计，推导先验估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于二维和三维空间中具有加法型时空白噪声的四阶随机抛物方程，全离散有限元逼近方法的收敛速率是多少？
• RQ2 对时空白噪声进行正则化所引入的建模误差如何影响数值解的整体精度？
• RQ3 对于 $C^1$-协调有限元和后向欧拉时间离散化，误差对空间网格尺寸 $h$ 和时间步长 $\Delta\tau$ 的依赖关系如何？
• RQ4 收敛速率如何依赖于空间维数 $d$ 和有限元空间的多项式阶数 $r$？
• RQ5 在最小正则性假设下，是否能在 $L^2(\Omega; L^2(D))$-范数下为全离散格式导出强先验误差估计？

主要发现

• 由于对时空白噪声进行正则化所引起的建模误差，其上界为 $\mathcal{O}(\epsilon^{-1/2} h^{\nu(r,d)-\epsilon})$，其中任意 $\epsilon \in (0, \nu(r,d)]$，且 $\nu(r,d)$ 依赖于 $r$ 和 $d$。
• 全离散逼近误差满足 $\max_{0 \leq m \leq M} \mathbb{E}[\|\widehat{U}_h^m - \widehat{u}(\tau_m, \cdot)\|_{L^2(D)}^2]^{1/2} \leq C \left[ \widetilde{\omega}(\Delta\tau, \epsilon_1) \Delta\tau^{\frac{4-d}{8}-\epsilon_1} + \epsilon_2^{-1/2} h^{\nu(r,d)-\epsilon_2} \right]$，其中 $\widetilde{\omega}(\Delta\tau, \epsilon_1) = \epsilon_1^{-1/2} + (\Delta\tau)^{\epsilon_1} (p_d(\Delta\tau^{1/4}))^{1/2}$。
• 当 $d=2$ 时，时间收敛率为 $\mathcal{O}(\Delta\tau^{3/8 - \epsilon_1})$；当 $d=3$ 时，时间收敛率为 $\mathcal{O}(\Delta\tau^{1/4 - \epsilon_1})$，反映出高维空间中奇异性增强。
• 空间收敛率为 $\mathcal{O}(h^{\nu(r,d)-\epsilon_2})$，其中 $\nu(r,d)$ 按 (5.13) 式定义，且随多项式阶数 $r$ 提高而改善。
• 误差估计对最终时间 $T$ 具有鲁棒性，因为常数 $C$ 与 $T$ 无关。
• 分析结果证实了在正则化问题下，后向欧拉全离散格式在离散 $L^\infty_t(L^2_P(L^2_x))$-范数下的收敛性。