[论文解读] Fully Dynamic Approximate Maximum Matching and Minimum Vertex Cover in $O(\log^3 n)$ Worst Case Update Time

Sayan Bhattacharya, Monika Henzinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 8

一句话总结

本文提出了一种确定性完全动态算法，可在每次边插入或删除时以 $O(\log^3 n)$ 的最坏情况更新时间，维护 $(2+\epsilon)$-近似最大分数匹配和最小点覆盖。该方法通过节点的分层划分以及通过枢轴操作调整边权重，确保最坏情况下的效率，从而弥合了动态匹配问题中均摊时间与最坏情况时间之间的长期差距。

ABSTRACT

We consider the problem of maintaining an approximately maximum (fractional) matching and an approximately minimum vertex cover in a dynamic graph. Starting with the seminal paper by Onak and Rubinfeld [STOC 2010], this problem has received significant attention in recent years. There remains, however, a polynomial gap between the best known worst case update time and the best known amortised update time for this problem, even after allowing for randomisation. Specifically, Bernstein and Stein [ICALP 2015, SODA 2016] have the best known worst case update time. They present a deterministic data structure with approximation ratio $(3/2+ε)$ and worst case update time $O(m^{1/4}/ε^2)$, where $m$ is the number of edges in the graph. In recent past, Gupta and Peng [FOCS 2013] gave a deterministic data structure with approximation ratio $(1+ε)$ and worst case update time $O(\sqrt{m}/ε^2)$. No known randomised data structure beats the worst case update times of these two results. In contrast, the paper by Onak and Rubinfeld [STOC 2010] gave a randomised data structure with approximation ratio $O(1)$ and amortised update time $O(\log^2 n)$, where $n$ is the number of nodes in the graph. This was later improved by Baswana, Gupta and Sen [FOCS 2011] and Solomon [FOCS 2016], leading to a randomised date structure with approximation ratio $2$ and amortised update time $O(1)$. We bridge the polynomial gap between the worst case and amortised update times for this problem, without using any randomisation. We present a deterministic data structure with approximation ratio $(2+ε)$ and worst case update time $O(\log^3 n)$, for all sufficiently small constants $ε$.

研究动机与目标

• 弥合目前最优均摊时间与最坏情况时间之间在动态近似最大匹配和最小点覆盖问题上的多项式差距。
• 设计一种具有多项式对数最坏情况更新时间的确定性算法，避免随机化带来的最坏情况保证限制。
• 在完全动态边更新下，于一般图中维护 $(2+\epsilon)$-近似分数匹配和点覆盖。
• 在保持强近似比的同时，实现 $O(\log^3 n)$ 的最坏情况更新时间。
• 为一般图提供一种基础性的确定性动态图算法，具有多项式对数最坏情况更新时间，解决了长期悬而未决的开放问题。

提出的方法

• 该算法基于节点的度数和匹配状态，将节点分层划分为不同层级，以实现高效的局部更新。
• 通过为边分配权重，使得任意节点关联的边权重之和不超过 1，从而维护分数匹配。
• 一个关键组件是 PIVOT-DOWN 子程序，它通过调整边权重和节点状态，确保在边插入和删除时保持不变量。
• 每个节点使用状态机（例如：Up、Down、Up-B、Down-B）来跟踪局部匹配行为，并指导枢轴操作。
• 通过 FIX-DIRTY-NODE 识别并处理脏节点，以确保更新后全局不变量得以保持。
• 分析依赖于对枢轴操作次数的有界性，并使用势函数将更新费用分摊到各层级，从而确保 $O(\log^3 n)$ 的最坏情况时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种确定性完全动态算法，实现近似最大匹配的多项式对数最坏情况更新时间？
• RQ2 是否可能在 $O(\log^3 n)$ 的最坏情况更新时间内维护 $(2+\epsilon)$-近似分数匹配和点覆盖？
• RQ3 如何利用分层节点划分和枢轴操作在动态更新下保持不变量？
• RQ4 在完全动态匹配中，近似比与最坏情况更新时间之间存在何种权衡？
• RQ5 能否在不使用随机化的情况下，弥合均摊时间与最坏情况时间之间的差距？

主要发现

• 该算法对最大分数匹配和最小点覆盖均实现了 $(2+\epsilon)$-近似。
• 对于所有足够小的常数 $\epsilon$，最坏情况更新时间为 $O(\log^3 n)$，且与 $m$ 无关。
• 该结果弥合了动态匹配问题中均摊时间与最坏情况时间之间的长期差距，即使在使用随机化的情况下也是如此。
• 该算法是确定性的，适用于一般图，不限于二分图或低边树度图。
• 最大匹配的大小被近似为 $(3+\epsilon)$ 倍，因为最大分数匹配至多为整数匹配大小的 $3/2$ 倍。
• 这是首个已知的在一般图中具有多项式对数最坏情况更新时间的确定性完全动态算法，适用于动态匹配问题。