[论文解读] Fully Dynamic c-Edge Connectivity in Subpolynomial Time.

Wenyu Jin, Xiaorui Sun|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 48被引用 12

一句话总结

本文提出了一种确定性的完全动态 $c$-边连通性算法，对于任意 $c = (\log n)^{o(1)}$，其最坏情况更新和查询时间均为 $n^{o(1)}$，该方法利用多级 $c$-边连通性简化器、在线批量更新技术以及一种通用转换方法，实现了最坏情况效率。关键贡献在于实现了亚多项式最坏情况更新时间，超越了此前 $c$-边连通性相关结果的界限。

ABSTRACT

We present a deterministic fully dynamic algorithm for $c$-edge connectivity problem with $n^{o(1)}$ worst case update and query time for any positive integer $c = (\log n)^{o(1)}$ for a graph with $n$ vertices. Previously, only polylogarithmic, $O(\sqrt{n})$, and $O(n^{2/3})$ worst case update time algorithms were known for fully dynamic $1$, $2$ and $3$-edge connectivity problems respectively. Our techniques include a multi-level $c$-edge connectivity sparsifier, an online-batch update algorithm for the sparsifier, and a general approach to turn an online-batch dynamic algorithm with small amortized update time into a fully dynamic algorithm with worst case update time.

研究动机与目标

• 为解决完全动态图中 $c$-边连通性实现亚多项式最坏情况更新时间这一长期存在的挑战。
• 突破以往仅限于 $c=1,2,3$ 且更新时间在 polylogarithmic 或 $O(n^{2/3})$ 范围内的结果限制。
• 设计一种通用框架，将具有小摊销成本的在线批量动态算法转换为具有最坏情况保证的完全动态算法。
• 实现对边插入与删除下稀疏连通性阈值 $c$ 缓慢随 $n$ 增长时的高效动态连通性维护。

提出的方法

• 设计一个多级 $c$-边连通性简化器，以在保持 $c$-边连通性特性的同时降低图的复杂度。
• 开发一种在线批量更新算法，以在动态边变更过程中高效维护简化器。
• 提出一种通用转换技术，将具有小摊销更新成本的在线批量动态算法转换为具有最坏情况更新时间的完全动态算法。
• 利用简化器减小问题规模，并应用该转换技术，实现 $n^{o(1)}$ 的最坏情况更新时间。
• 利用 $c = (\log n)^{o(1)}$ 的结构特性，确保简化器保持较小且可在亚多项式时间内维护。
• 将简化器与最坏情况更新机制结合，以在所有更新序列下保证性能界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $c = (\log n)^{o(1)}$，是否能够以亚多项式最坏情况更新时间维护完全动态 $c$-边连通性？
• RQ2 是否可能设计一种从在线批量动态算法到具有最坏情况更新时间的完全动态算法的通用转换方法？
• RQ3 如何高效构建并维护一个多级简化器，以在动态更新下保持 $c$-边连通性？
• RQ4 在维护 $c$-边连通性时，简化器大小与更新效率之间的权衡是什么？
• RQ5 该框架能否扩展以支持超过小常数的 $c$-边连通性？

主要发现

• 该算法在 $c = (\log n)^{o(1)}$ 条件下实现了 $n^{o(1)}$ 的最坏情况更新与查询时间，相较于以往结果有显著改进。
• 所提出的多级 $c$-边连通性简化器能够以亚多项式开销高效维护连通性阈值。
• 在线批量更新技术确保简化器以批量方式高效更新，从而最小化单次更新成本。
• 从摊销到最坏情况更新时间的通用转换技术有效且适用于广泛类别的动态算法。
• 该框架成功超越了 $c=1,2,3$ 的限制，实现了对随 $n$ 缓慢增长的 $c$ 的亚多项式更新时间。
• 结果表明，即使 $c$ 随 $n$ 缓慢增长，完全动态 $c$-边连通性仍可高效维护，从而填补了动态图算法领域长期存在的空白。