[论文解读] Fully Dynamic Effective Resistances

David Durfee, Yu Gao+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文提出了首个用于维护无向、无权多重图中 $(1\pm\epsilon)$-近似全对有效电阻的完全动态数据结构，其预期摊销更新与查询时间为 $\tilde{O}(m^{4/5}\epsilon^{-4})$。该方法通过动态维护基于随机游走和顶点采样的舒尔补，实现通过顶点压缩器的局部表示实现亚线性更新。

ABSTRACT

In this paper we consider the \emph{fully-dynamic} All-Pairs Effective Resistance problem, where the goal is to maintain effective resistances on a graph $G$ among any pair of query vertices under an intermixed sequence of edge insertions and deletions in $G$. The effective resistance between a pair of vertices is a physics-motivated quantity that encapsulates both the congestion and the dilation of a flow. It is directly related to random walks, and it has been instrumental in the recent works for designing fast algorithms for combinatorial optimization problems, graph sparsification, and network science. We give a data-structure that maintains $(1+ε)$-approximations to all-pair effective resistances of a fully-dynamic unweighted, undirected multi-graph $G$ with $ ilde{O}(m^{4/5}ε^{-4})$ expected amortized update and query time, against an oblivious adversary. Key to our result is the maintenance of a dynamic \emph{Schur complement}~(also known as vertex resistance sparsifier) onto a set of terminal vertices of our choice. This maintenance is obtained (1) by interpreting the Schur complement as a sum of random walks and (2) by randomly picking the vertex subset into which the sparsifier is constructed. We can then show that each update in the graph affects a small number of such walks, which in turn leads to our sub-linear update time. We believe that this local representation of vertex sparsifiers may be of independent interest.

研究动机与目标

• 设计一个完全动态数据结构，用于在一般无向图中维护边插入与删除下的近似有效电阻。
• 在完全动态设置下实现全对有效电阻的亚线性更新与查询时间，此前仅在无小图的图中已知。
• 开发一种支持高效更新并保持谱近似的动态顶点压缩器（舒尔补）。
• 通过优化终端集合大小与采样参数，实现稀疏图中每次操作的真正亚线性时间。

提出的方法

• 在大小为 $\Theta(\beta n)$ 的随机采样终端集合上维护一个动态舒尔补（顶点电阻压缩器）。
• 将舒尔补表示为每条边的 $\rho = O(\log n \cdot \epsilon^{-2})$ 个随机游走之和，截断于 $O(n^{3/7} \log^3 n)$ 步。
• 使用两级数据结构：首先维护动态舒尔补 $H$，然后维护 $H$ 的谱压缩器 $\tilde{H}$。
• 应用随机游走截断与重加权：每条游走向终端端点之间贡献一条权重为 $1/(\rho \ell)$ 的边，其中 $\ell$ 为游走长度。
• 利用每个边更新仅影响少量游走的特性（由于终端的随机采样），实现高效的摊销更新。
• 利用 Barnes 和 Feige 关于随机游走覆盖时间的界，控制期望负载与误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般图的完全动态图中，以亚线性更新时间维护有效电阻？
• RQ2 能否使用随机游走表示高效维护动态舒尔补？
• RQ3 随机采样的终端顶点是否能导致局部更新，从而确保亚线性摊销时间？
• RQ4 能否通过优化终端集合大小与更新成本之间的权衡，实现稀疏图的 $\tilde{O}(n^{6/7}\epsilon^{-4})$ 时间？
• RQ5 在完全动态设置下，能否以高概率实现全对有效电阻的 $(1\pm\epsilon)$-近似？

主要发现

• 所提出的数据结构以 $\tilde{O}(m^{4/5}\epsilon^{-4})$ 的预期摊销时间维护了全对有效电阻的 $(1\pm\epsilon)$-近似。
• 对于终端对数量较少的简单图，更新与查询时间可降低至 $\tilde{O}(n^{6/7}\epsilon^{-4})$，实现真正的亚线性性能。
• 通过每条边的 $\rho = O(\log n \cdot \epsilon^{-2})$ 个随机游走（截断于 $O(n^{3/7} \log^3 n)$ 步）维护动态舒尔补。
• 每次边更新仅影响 $O(\beta^{-6} \log^9 n \epsilon^{-2})$ 个预期变化，从而实现高效的摊销更新。
• 该方法在 $\beta = n^{-1/7}$ 时确保高概率正确性，最小化了终端集合大小与更新成本之间的权衡。
• 该框架通过随机游走提供了一种顶点压缩器的新局部表示，其本身可能具有独立研究价值，而不仅限于有效电阻计算。