[论文解读] Fully-Dynamic Graph Sparsifiers Against an Adaptive Adversary

Aaron Bernstein, Jan van den Brand+5 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 78被引用 33

一句话总结

本论文提出了首个针对自适应敌手的高效全动态图简并化方法，实现了在多项式对数时间内的摊销更新时间，适用于多项式对数(n)跨度的生成器、O(k)-近似割简并化器以及多项式对数(n)近似谱简并化器，所有结果均具有近乎线性规模。该方法依赖于两种新颖技术：一种黑箱归约方法，用于在边删除下维护近乎均匀度的扩张图；以及一种主动重采样机制，以在自适应敌手存在下保持图的结构，从而解决了动态图算法中的开放性问题，并实现了近乎线性时间的最小费用最大流及相关问题的算法。

ABSTRACT

Designing dynamic graph algorithms against an adaptive adversary is a major goal in the field of dynamic graph algorithms. While a few such algorithms are known for spanning trees, matchings, and single-source shortest paths, very little was known for an important primitive like graph sparsifiers. The challenge is how to approximately preserve so much information about the graph (e.g., all-pairs distances and all cuts) without revealing the algorithms' underlying randomness to the adaptive adversary. In this paper we present the first non-trivial efficient adaptive algorithms for maintaining spanners and cut sparisifers. These algorithms in turn imply improvements over existing algorithms for other problems. Our first algorithm maintains a polylog$(n)$-spanner of size $ ilde O(n)$ in polylog$(n)$ amortized update time. The second algorithm maintains an $O(k)$-approximate cut sparsifier of size $ ilde O(n)$ in $ ilde O(n^{1/k})$ amortized update time, for any $k\ge1$, which is polylog$(n)$ time when $k=\log(n)$. The third algorithm maintains a polylog$(n)$-approximate spectral sparsifier in polylog$(n)$ amortized update time. The amortized update time of both algorithms can be made worst-case by paying some sub-polynomial factors. Prior to our result, there were near-optimal algorithms against oblivious adversaries (e.g. Baswana et al. [TALG'12] and Abraham et al. [FOCS'16]), but the only non-trivial adaptive dynamic algorithm requires $O(n)$ amortized update time to maintain $3$- and $5$-spanner of size $O(n^{1+1/2})$ and $O(n^{1+1/3})$, respectively [Ausiello et al. ESA'05]. Our results are based on two novel techniques. The first technique, is a generic black-box reduction that allows us to assume that the graph undergoes only edge deletions and, more importantly, remains an expander with almost-uniform degree. The second technique we call proactive resampling. [...]

研究动机与目标

• 设计首个在自适应敌手（可观察并响应算法随机性）下仍保持正确的高效动态图简并化器。
• 解决动态图算法中的开放性问题，包括自适应跨度生成器与割简并化器的构造，以及改进递减式单源最短路径算法。
• 开发在敌手控制算法所用随机位的情况下仍能维持图结构的技术。
• 利用动态简并化器作为子程序，实现静态问题（如最小费用单位容量最大流与拥塞最小化）的近乎线性时间算法。
• 将先前关于动态谱简并化器的结果去摊销化，并推广至自适应环境。

提出的方法

• 引入一种黑箱归约方法，将任意动态图转化为在边删除下保持近乎均匀度的扩张图，同时保留关键结构特性。
• 提出一种主动重采样技术，持续对图的局部进行重采样，以在敌手适应历史随机性时仍能维持期望属性。
• 利用带度数均匀性约束的动态扩张图分解，以在边删除下维持扩张图，从而实现简并化器的高效维护。
• 通过该归约方法，确保底层图保持低直径、高扩张结构，从而在动态图中维护简并化器。
• 基于随机采样与边加权的谱与割简并化器构造，结合主动重采样实现自适应鲁棒性。
• 利用最坏情况更新时间框架对结果进行去摊销化，仅引入次多项式开销。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在自适应敌手下，以多项式对数(n)的摊销更新时间，维护一个大小为Õ(n)的多项式对数(n)跨度生成器？
• RQ2 我们能否在自适应更新下，以Õ(n^{1/k})的摊销更新时间，维护一个大小为Õ(n)的O(k)-近似割简并化器？
• RQ3 我们能否在自适应敌手模型下，以多项式对数(n)的摊销更新时间，维护一个多项式对数(n)-近似谱简并化器？
• RQ4 主动重采样能否用于在敌手控制随机性时维持图结构？
• RQ5 动态简并化器能否用于实现静态问题（如最小费用最大流与拥塞最小化）的近乎线性时间算法？

主要发现

• 本论文首次提出全动态跨度生成器算法，在自适应敌手下实现多项式对数(n)的摊销更新时间，解决了Ahmed等人（2019）提出的一个开放问题。
• 在自适应更新下，维护一个大小为Õ(n)的O(k)-近似割简并化器，其摊销更新时间为Õ(n^{1/k})，优于先前结果。
• 即使敌手控制算法的随机位，仍能在多项式对数(n)的摊销更新时间内维护一个多项式对数(n)-近似谱简并化器。
• 主动重采样技术确保了在敌手适应性下，所需图结构（如扩张图）得以保持，且在依赖关系生成下具有非平凡的分析。
• 结果表明，可实现近二次时间复杂度的最小费用单位容量最大流近似算法，优于先前的归约方法。
• 该框架对Abraham等人（FOCS’16）关于动态谱简并化器的结果实现去摊销化，达到最坏情况更新时间，仅引入次多项式开销。