[论文解读] Fully nonlinear elliptic and parabolic equations in weighted and mixed-norm Sobolev spaces

Hongjie Dong, Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用 5

一句话总结

本论文在全空间和半空间中，针对具有松弛凸性及几乎VMO依赖于空间变量的完全非线性椭圆与抛物型方程，建立了加权与混合范数Sobolev估计。通过使用带$A_p$-权的局部Fefferman-Stein尖函数定理及Rubio de Francia的外推法，作者在不依赖分区单位或显式积分表示的前提下，推导出$W^{2,p}$-型估计，将先前结果推广至非线性和加权情形。

ABSTRACT

We prove weighted and mixed-norm Sobolev estimates for fully nonlinear elliptic and parabolic equations in the whole space under a relaxed convexity condition with almost VMO dependence on space-time variables. The corresponding interior and boundary estimates are also obtained.

研究动机与目标

• 将加权与混合范数Sobolev估计推广至完全非线性椭圆与抛物型方程，超越线性或连续系数的情形。
• 基于新的带$A_p$-权的局部Fefferman-Stein定理，建立在松弛凸性与几乎VMO依赖于时空变量条件下的$W^{2,p}$-型估计。
• 利用J. L. Rubio de Francia风格的广义外推定理，在全空间与半空间中推导混合范数估计。
• 在加权Sobolev空间中，为完全非线性方程提供内部与边界估计，其中权函数为与边界距离相关的幂函数。

提出的方法

• 采用带$A_p$-权的Fefferman-Stein尖函数定理的局部版本，避免依赖分区单位或显式解表示。
• 应用由Evans-Krylov定理导出的平均振荡估计，以及具有可测系数方程的$W^{2}_{ ho}$-型估计。
• 采用受J. L. Rubio de Francia启发的广义外推定理（定理8.1），从$L^p$-型有界性推导混合范数估计。
• 利用$A_p$-权理论与Muckenhoupt条件，在椭圆与抛物型情形中处理非均匀权函数。
• 将理论应用于全空间与半空间区域，包括基于到边界距离的幂权函数的边界估计。
• 依赖粘性解理论，假设$F$关于$D^2u$为Lipschitz连续，$F(0,x)=0$，且在$x$上满足松弛凸性与VMO条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在空间变量上具有松弛凸性与几乎VMO依赖的完全非线性椭圆方程，能否建立加权与混合范数Sobolev估计？
• RQ2 带$A_p$-权的Fefferman-Stein尖函数定理能否被适配于非线性、非散度型方程，且无需显式积分表示？
• RQ3 在存在多个$A_p$-权的情况下，如何利用外推技术推导完全非线性方程的混合范数估计？
• RQ4 在加权与混合范数空间中，完全非线性抛物型方程的$W^{2,p}$-型估计在何种条件下成立？
• RQ5 能否在半空间中为完全非线性方程获得带$A_p$-权（包括与边界距离成比例的幂权）的局部与边界估计？

主要发现

• 作者证明了在全空间中，对于具有松弛凸性与几乎VMO依赖于$x$的完全非线性椭圆与抛物型方程，其加权$W^{2,p}$估计成立，且权函数为$A_p$-权。
• 作为关键技术工具，建立了带$A_p$-权的局部Fefferman-Stein尖函数定理，使得估计无需依赖分区单位。
• 通过广义外推定理（定理8.1）推导出混合范数Sobolev估计，将结果推广至在不同变量中具有不同可积性的方程。
• 对于关于$D^2u$为一次齐次的算子，获得了全空间设定下的局部混合范数估计。
• 在半空间中建立了带$A_p$-权的边界估计，包括与到边界距离成比例的幂权。
• 结果被推广至全空间、半空间、球体与半球体中的抛物型方程，相应地获得了加权与混合范数估计。