[论文解读] Fully Proportional Representation as Resource Allocation: Approximability Results

Piotr Skowron, Piotr Faliszewski+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Game Theory and Voting Systems参考文献 33被引用 34

一句话总结

本文将Monroe和Chamberlin与Courant的多赢投票制度建模为资源分配问题，并分析了优化选民满意度的近似可计算性。在标准复杂性假设下，证明了最小化总体不满程度在任何常数因子内都不可近似，但对于基于Borda的满意度度量，本文为Monroe系统提出了一种随机近似算法，其近似比可任意接近0.715，同时为Chamberlin与Courant系统提供了一个多项式时间近似方案（PTAS）。

ABSTRACT

We model Monroe's and Chamberlin and Courant's multiwinner voting systems as a certain resource allocation problem. We show that for many restricted variants of this problem, under standard complexity-theoretic assumptions, there are no constant-factor approximation algorithms. Yet, we also show cases where good approximation algorithms exist (briefly put, these variants correspond to optimizing total voter satisfaction under Borda scores, within Monroe's and Chamberlin and Courant's voting systems).

研究动机与目标

• 将Monroe和Chamberlin与Courant的多赢投票系统建模为资源分配问题。
• 在各种不满程度度量下，分析这些系统中优化选民满意度的近似可计算性。
• 确定是否存在常数因子近似算法，用于最小化总体或最大不满程度。
• 识别出在何种情况下存在良好的近似算法，特别是基于Borda的满意度评分时。
• 探索Monroe系统在优化总体Borda满意度时是否存在多项式时间近似方案（PTAS）。

提出的方法

• 将Monroe和Chamberlin与Courant的系统形式化为一个资源分配问题，包含参与者、备选项、容量、成本以及基于偏好的满意度。
• 将不满程度建模为选民偏好顺序中所分配备选项的名次，定义总体不满和最大不满为优化目标。
• 应用复杂性理论中的约化，证明在标准假设下（例如，近似复杂度为NP-hard且无法在任何常数因子内近似）的不可近似性结果。
• 为Monroe系统开发了一种随机近似算法，其在Borda-based满意度度量下，期望近似比达到(1 - 1/(K+1))(1 + 1/m)。
• 通过要求大多数参与者满足最低满意度阈值，对minmax满意度问题进行松弛，并为该变体提供近似算法。
• 通过利用固定参数可追踪性与迭代舍入技术，为基于Borda的Chamberlin与Courant系统构建了PTAS。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般偏好评分下，能否为Monroe和Chamberlin与Courant系统中最小化总体不满程度设计常数因子近似算法？
• RQ2 在这些系统中，最小化最大不满程度的问题是否可在任何常数因子内近似？
• RQ3 在何种条件下，基于Borda的满意度度量允许在Monroe和Chamberlin与Courant系统中实现良好的近似算法？
• RQ4 当优化总体Borda满意度时，Monroe系统是否存在多项式时间近似方案（PTAS）？
• RQ5 能否通过随机算法在Borda评分下，使Monroe系统的近似比任意接近0.715？

主要发现

• 在标准复杂性假设下，Monroe系统中最小化总体不满程度在任何常数因子内都不可近似。
• 在Monroe系统和Chamberlin与Courant系统中，最小化最大不满程度同样在任何常数因子内不可近似。
• 对于基于Borda的满意度，随机算法在Monroe系统中实现了期望近似比(1 - 1/(K+1))(1 + 1/m)。
• 对于基于Borda的Chamberlin与Courant系统，存在一个多项式时间近似方案（PTAS），可使近似比任意接近1。
• 对minmax满意度问题的松弛版本（要求大多数参与者满足最低满意度阈值）存在(1 + ln(δ)/K)-近似算法。
• 本文证明，当K固定时，基于Borda的Chamberlin与Courant系统可在多项式时间内最优求解，从而支持PTAS的存在性。